Egle-2019-03-19

от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

Кому: Максим Макаров <makarovmv2000@yandex.ru>

копия: Евгений Кадисов <kadissov.e@gmail.com>

дата: 19 мар. 2019 г., 14:41

тема: Re: О Постулате процессов

отправлено через: gmail.com

Уважаемые коллеги!

Это есть мой ответ на письмо Makarov-2019-03-18. В том документе написано:

«Постулат процессов» противопоставляется «постулату существования» канторизма, из чего вытекает, что по первому постулату объекты не существуют, если они не создаются процессом генерации. Однако множества в материальном мире существуют независимо от процессов, которые используются для отображения этих множеств в мозге человека.

Разумеется, (мысленные) «объекты не существуют, если они не создаются процессом»! Еще старый Тит Лукреций Кар в Древнем Риме говорил: «За основание тут мы берем положенье такое: Из ничего не творится ничто по божественной воле...» (VIEWS, стр.15).

Однако не надо понимать эти вещи примитивно (как всегда понимал академик Решетняк и другие математики, которые никогда даже и не пытались вникнуть в то, что я говорю). Итак, объясняю еще раз то, что объяснял уже много раз (см., например, §25–28 в МОИ № 6, стр.16–19).

Возьмем, к примеру, «множество гусей, плавающих в пруду» (пример П.С. Александрова в первом абзаце §1 книги Aleksandrov_P_S-1977, стр.7). То, как это сказано у Александрова (и как понимается всеми математиками), недостаточно точно для Веданской теории (ВТ). Там, где у математиков всего лишь один объект («множество гусей, плавающих в пруду») ВТ различает минимум 5 разных объектов.

Первый объект – это собственно гуси (материальные биологические системы; обозначим этот объект как R1; в ВТ он называется «реалией»). Но собственно гуси не являются тем множеством, которым оперирует человеческий мозг. Чтобы мозг начал ими заниматься, они должны быть «отражены» в мозге. Это «отражение» (некоторая внутримозговая – т.е. внутрикомпьютерная – структура данных) называется в ВТ «номиналией» (обозначим ее N1, и она соответствует реалии R1). Номиналия N1 – это второй объект. Третий объект – это «процесс» P (программа, алгоритм), который эту номиналию N1 обрабатывает (в качестве своих исходных данных). Этот процесс генерирует некоторый четвертый объект, новую номиналию (структуру данных в компьютере-мозге) N2. Ей во внешнем для компьютера мире соответствует реалия R2. Вот, эта вторая реалия, продукт процесса P, и есть то, что мы обычно понимаем под словом «множество».

Общий принцип такой: «номиналиями» называются внутрикомпьютерные структуры данных, которым вне компьютера, «во внешнем мире», соответствуют «реалии» (которые могут быть физическими объектами вроде гусей в пруду, или вещами воображаемыми, типа чисел).

В случае такого простого множества как «множество гусей, которые плавают в пруду и которых я сейчас вижу», реалия R2 (продукт процесса P) как будто «накладывается» на реалию R1 (физических гусей пруда) и (менее внимательному взгляду) может показаться, что это одно и то же. Но это так лишь потому, что случай уж больно тривиальный, фактически вырожденный. Возьмем случай более часто встречающийся.

Пусть в пруду плавает лишь один гусь (это реалия R1). Его отражение в моей голове – это номиналия N1. Процесс P – это программа, способная отличить гуся от не-гуся (и причислить N1 к гусям). Продукт этого «причисления» – это номиналия N2 (другая структура данных, которая соответствует уже не одному данному гусю, а «гусям вообще», «множеству всех гусей», соответствует реалии R2 (которая и есть «множество всех гусей, созданное процессом P»).

Вот принципиальная схема создания абстрактных множеств процессами (мозгового компьютера). Можно спросить: зачем такие сложности? (На самом деле это лишь базовая, принципиальная схема; еще остается уйма всяких тонкостей). Но это принципиальная схема работы программатуры, которая будет распознавать гусей и создавать «множество всех гусей». Такие программы – часть программатуры интеллекта, а эта программатура не обещала быть простой и тривиальной. (Наоборот, многим даже казалось, что программатура интеллекта должна быть настолько сложной, что человек вообще не способен понять ее принципы).

Итак, мы видели принципиальную схему создания «множества всех гусей». Под эту схему попадает, например, создание всех типов чисел как таксонов классификации множеств и пар множеств (см. Chisla-Lase1 и многие другие описания). Но разберем пример, преподнесенный нам вчера Евгением Михайловичем. Он написал (18 марта 2019 г. в 20:51):

Коллеги. Если мы не откажемся от положения, что множества, которые не порождаются процессами, не существуют, то мы никого ни в чём не убедим. Если бы мы смогли построить процесс, порождающий иррациональные числа, тем самым мы показали бы, что это множество счётно. Чем же мы отличаемся от кантористов, если считаем, что всякое множество, которое нельзя сосчитать, бесконечно больше счётного множества. Ведь существование множества иррациональных чисел не надо и доказывать. Это знают даже школьники. А процесса, который порождает такое множество, мы не сможем предъявить. С уважением Е.К.

Процессы, которые создают множество иррациональных чисел, мы, вопреки Евгению Михайловичу, предъявляем запросто. Эти процессы распадаются на два уровня. На первом уровне имеются процессы, каждый из которых создает одно определенное иррациональное число. А на втором уровне происходит то же самое, что выше происходило с гусями, только теперь вместо гусей обрабатываются отдельные иррациональные числа, созданные на первом уровне. Процесс P в первом случае смотрел на признаки типа «два крыла, длинная шея» и т.п., чем можно определить, что это именно гусь. А теперь процесс P смотрит на признаки иррациональности у числа. И как для образования «множества всех гусей» вовсе не надо было найти и перечислить действительно всех гусей Вселенной, так и для образования «множества всех иррациональных чисел» вовсе не надо найти и перечислить их все (а достаточно фиксировать отличительные признаки в программе P). Это то, что при образовании «множества иррациональных чисел» происходит на самом деле в голове человека.

Так что «множество иррациональных чисел» тоже создается процессами, и его наличие (о чем «знают даже школьники») не противоречит Постулату процессов; по-прежнему «Из ничего не творится ничто по божественной воле». Но это множество «нельзя и построить отдельным каким-то алгоритмом», как было мною сказано в письмах Innumerum 11 марта 2019 г. в 12:31.

Далее Максим Валентинович продолжает:

С другой стороны описание абстрактного множества в виде характеристического предиката, вообще говоря, не подразумевает процесса генерации. Например множество точек на отрезке [0,1] вполне определено условием 0 ≤ x ≤ 1 и находит массу практических применений даже без перечисления всех элементов этого множества.

В «мире программ» (при Постулате процессов) слова «определено условием 0 ≤ x ≤ 1» означают, что имеется некая программа P′, которая отбирает те x, которые этому условию удовлетворяют (как-то их отмечает или куда-то копирует и т.д.). Но чтобы эта программа могла работать, предварительно должен существовать тот массив, в котором она будет распознанные ею объекты отмечать или из которого перемещать, – и этот массив должен быть кем-то и как-то создан, сгенерирован (еще до запуска P′). «Условие» само по себе ничего не создает (а только отбирает).

Далее у М.В. идут слова:

Я так и не понял, почему в основу канторизма положен «постулат существования». На мой взгляд теория Кантора построена на игре разных подходов: потенциальной / актуальной бесконечности и зависимого / независимого сравнения множеств (последнее в канторизме не различается). Мне кажется, что в работах Кантора и его последова­телей «постулат существования» нигде не используется. А если это так, то требуется доказатель­ство, что этот постулат используется в неявном виде, и что без него теория Кантора развалива­ется.

Обратимся еще раз к тем же таблицам типа:

00

01

10

11

и т.д. Откуда мы знаем, что в этих таблицах цифр в строке будет n, а строк будет 2ⁿ? Мы это знаем только потому, что смотрим на появление этих таблиц как на процесс генерации (т.е. руководствуемся Постулатом процессов). А почему кантористы могут думать, что «бесконечность вправо» и «бесконечность вниз» здесь одинаковы? (И, стало быть, что можно корректно провести диагональный процесс). Они так думают потому, что НЕ смотрят на дело как на процесс, а рассуждают так: «Вправо бесконечность, и вниз бесконечность; обе актуальные; одна счетная, и другая счетная, значит, одинаковые!».

Разве не очевидна разница в исходных предпосылках наших и кантористов? – А эта разница в исходных посылках и есть два разных постулата!

Предпосылки кантористов просто классически изложил академик Решетняк – см. пост Egle-2017-10-16, раздел «2. Неграм» и исходный файл Решетняка negram.pdf. У него n = 2ⁿ потому, что совпадают множества возможных индексов!!!

Разница постулатов будет проявляться и во многих других местах. Например, отличие потенциальной и актуальной бесконечности кристально ясна только при Постулате процессов, а в его отсутствие будет затушевываться (что мы и наблюдаем в теперешнем отвержении кантористами всякого упоминания об актуальной и потенциальной бесконечности как о «философии» и т.п.). Разница между независимой и зависимой генерацией (или сравнением, как выразился М.В.) тоже очевидна только при Постулате процессов, а при его отсутствии будет отрицаться кантористами.

Наличие и необходимость Постулата процессов для антикантористских взглядов очевидны. Ну, а отсутствие, отрицание этого постулата есть противоположный постулат. Как его назвать, это уже другой вопрос. Название «Постулат существования» лично мне не нравится, но ничего лучшего пока что на ум не пришло. Предложите более удачное название!

Слова «требуется доказатель­ство, что этот постулат используется в неявном виде, и что без него теория Кантора развалива­ется», безусловно, правильны. Но эти доказательства не следует приводить в Первой главе, этим запутывая ее лаконичность. Вот, когда будем говорить о таблицах, о конкретных доказательствах кантористских и наших, – тогда и покажем их связь с постулатами.

Далее М.В. пишет:

Второй вопрос возникает по поводу «мира программ». Требуется подробное объяснение, что это такое, какими свойствами обладает, и по каким принципам функционирует. Какой «компьютер» имеется в виду как место существования этого мира программ?

Термин «мир программ» принадлежит профессору (тогда еще только доценту) К.М. Подниексу (отъявленному кантористу) и впервые (в рамках истории ВТ) употребляется им в тексте, датированном 22 сентября 1984 года (в пункте .1133 книги CANTO2, стр.9). Там до и после этого Подниекс много говорит о «мире множеств», ну и «мир программ» им противопоставляется «миру множеств». (Это противопоставление фактически сохраняется и у нас: Постулат процессов порождает «мир программ», а Постулат существования порождает «мир множеств», каким его видел Подниекс, а также остальные кантористы).

Вообще для того, чтобы рассуждать о «мире программ», НЕ «требуется подробное объяснение, что это такое, какими свойствами обладает, и по каким принципам функционирует». Разве без этого не понятна, например, блок-схема Парадокса Рассела на стр.39 в МОИ № 115? Во всяком случае программист программиста без всяких проблем понимает на таком уровне – без привлечения точных спецификаций машины и ее ОСа – в категориях абстрактного компьютера и абстрактных программ.

Но если уж всё-таки задаться вопросом «Какой «компьютер» имеется в виду как место существования этого мира программ?», то имеется в виду, конечно, с одной стороны мозговой компьютер человека, а с другой стороны компьютер куклы Доллии. (См., напр., Постановка задачи в МОИ № 43, стр.13 и далее; или статью A001 «Веданская теория», раздел «Метод ВТ»). Однако вдаваться в подобные объяснения вряд ли стоит в книге KIF01, как книге логической.

Если речь идет об Эуклидосе и Эуклидоле, то для них требуется отдельная глава (или даже несколько глав). При этом необходимо убедительное доказательство, что именно такой «компьютер» и именно такой «мир программ» способны реализовать все процессы, о которых мы говорим.

Программная система Эуклидос и язык Эуклидол (см. NATUR2) были задуманы как средства формализации программ, образующих (создающих) числа. Если программы (и их алгоритмы) описывать просто словами, то получается, во-первых, страшно длинно и, во-вторых, всё равно очень неточно и неоднозначно. Однозначна только запись программы на алгоритмическом языке. Если удается придумать такой компьютерно интерпретируемый язык, на котором можно записать мозговую программу, и если записать ее на этом языке, тогда в ВТ говорится, что эта программа «компьютерно канонизирована». Большинство мозговых программ весьма сложно компьютерно канонизировать. Например, как и на каком алгоритмическом языке вы опишете программу P, которая выше у нас отличала гусей от не-гусей? Но программы, создающие числа, настолько, с одной стороны, просты, а, с другой стороны, четкие, что их можно сравнительно легко компьютерно канонизировать, – что и было сделано при помощи Эуклидоса и Эуклидола. Но всё это находится вне поля зрения книги KIF01.

Так например, машина Тьюринга имеет определенные ограничения, поскольку для нее не все функции являются вычислимыми. И хотя доказательство этого утверждения основано на диагональном методе Кантора, и его можно подвергнуть серьезному сомнению, использование такой машины в качестве места обитания «мира программ» вызовет много вопросов.

Мое мнение о машинах Тьюринга можно увидеть, например, в «Послесловии к Первой главе» в книге PENRS1, стр.60–63. Настоящий программист никогда не работает с машинами Тьюринга (которые-то и придуманы были, когда в мире еще не было ни одного программируемого компьютера). И тот, кто работает с машинами Тьюринга, никогда не спроектирует никакой сколь-нибудь стоящей программной системы.

Вообще, Максим Валентинович, прочитайте, пожалуйста, анекдот о Нильсе Боре в пункте .497 книги VIEWS (стр.55). Не надо объяснять то, о чем мы еще только будем говорить; надо объяснять то, о чем мы уже говорили и что осталось читателю непонятным. Конечно, Главу 1 можно пополнить (предложите конкретно, чем именно), но вообще нужно считать, что это вполне естественно, когда некоторые вещи остаются читателю в ней непонятными и станут понятны лишь в дальнейшем, в следующих главах. Длинным и нудным разъяснениям не место в Главе 1. Она должна быть лаконичной и стремительно вывести к доказательствам – к кантористским и нашим (при разборе которых многое и прояснится).

С уважением, В.Э.

Makarov-2019-03-18

от: Максим Макаров <makarovmv2000@yandex.ru>

Кому: <egle.valdis@gmail.com>, <kadissov.e@gmail.com>

дата: 18 мар. 2019 г., 19:04

тема: Re: О Постулате процессов

отправлено через: yandex.ru

Уважаемые коллеги!

Именно потому, что первая глава [Glava1] является фундаментом дальнейшей аргументации, требуется глубокое осмысление заложенных в нее принципов. Мое молчание объясняется попытками понять то, что с первого прочтения не кажется абсолютно убедительным.

Я надеюсь, что мне будет достаточно еще 2–3 дня чтобы сформулировать подробно свои вопросы по главе 1.

Коротко эти вопросы сводятся к следующему.

«Постулат процессов» противопоставляется «постулату существования» канторизма, из чего вытекает, что по первому постулату объекты не существуют, если они не создаются процессом генерации. Однако множества в материальном мире существуют независимо от процессов, которые используются для отображения этих множеств в мозге человека. С другой стороны описание абстрактного множества в виде характеристического предиката, вообще говоря, не подразумевает процесса генерации. Например множество точек на отрезке [0,1] вполне определено условием 0 ≤ x ≤ 1 и находит массу практических применений даже без перечисления всех элементов этого множества. Я так и не понял, почему в основу канторизма положен «постулат существования». На мой взгляд теория Кантора построена на игре разных подходов: потенциальной / актуальной бесконечности и зависимого / независимого сравнения множеств (последнее в канторизме не различается). Мне кажется, что в работах Кантора и его последователей «постулат существования» нигде не используется. А если это так, то требуется доказательство, что этот постулат используется в неявном виде, и что без него теория Кантора разваливается.

Второй вопрос возникает по поводу «мира программ». Требуется подробное объяснение, что это такое, какими свойствами обладает, и по каким принципам функционирует. Какой «компьютер» имеется в виду как место существования этого мира программ? Если речь идет об Эуклидосе и Эуклидоле, то для них требуется отдельная глава (или даже несколько глав). При этом необходимо убедительное доказательство, что именно такой «компьютер» и именно такой «мир программ» способны реализовать все процессы, о которых мы говорим. Так например, машина Тьюринга имеет определенные ограничения, поскольку для нее не все функции являются вычислимыми. И хотя доказательство этого утверждения основано на диагональном методе Кантора, и его можно подвергнуть серьезному сомнению, использование такой машины в качестве места обитания «мира программ» вызовет много вопросов.

С уважением, М.В.

Irrational

от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

Кому: <kadissov.e@gmail.com>, <makarovmv2000@yandex.ru>

дата: 18 мар. 2019 г., 17:32

тема: Об иррациональных числах

отправлено через: gmail.com

В письмах Innumerum среди прочего был затронут вопрос об иррациональных числах. Я писал к Е.М. (11 марта 2019 г., 12:31):

Ваше новое понятие «несчетно по Кадисову» = «переосмысленно несчетно» = «ненуме­руемо» подразумевает, что множество иррациональных чисел (I) счетно[1], но его нельзя перенумеровать (потому что оно «плохо организовано для счета»). Множество I нельзя не только перенумеровать, но его нельзя и построить отдельным каким-то алгоритмом. Как Вы будете его строить? Чтобы получить это множество, Вы должны сначала построить множество R вещест­венных чисел, потом множество Q рациональных чисел, потом отобрать из R все Q и тогда уже то, что останется, будет множество I. И теперь задумайтесь, как Вы будете строить в виде десятичных дробей, например, отрезок [0, 1] из R и как из Q (оказывается, что алгоритмы-то одинаковые). Подумайте, что будет, когда актуальная бесконечность не введена (иррациональ­ных чисел вообще нет, есть только рациональные приближения к ним) и когда она введена (иррациональные числа есть рациональные, но с актуально бесконечным количеством цифр за запятой).

Е.М. отвечал (11 марта 2019 г., 14:59):

Да, если не принять актуальную бесконечность, то, кажется, нет обоснования их [иррациональных чисел] существованию. Но куда деть несоизмеримость этих чисел, которая была обнаружена ещё в древности.

А между тем до конца разобраться в вопросе существования–несуществования иррациональных чисел можно только на основе того самого Постулата процессов, о котором я специально говорил в письме Postulat1. Е.М. спрашивает: «Но куда деть несоизмеримость этих чисел...» А никуда ее не надо девать! Надо просто осознать, что эта «несоизмеримость» есть всего лишь тот факт, что алгоритмы генерации множеств, образно говоря, «проходят мимо» друг друга и «не пересекаются».

Очень наглядно Марина Ипатьева это показала Денису Клещёву в МОИ № 114 на стр. 75–80, где объясняется глубинная, алгоритмическая сущность числа √2 (см. особенно там Рис.6, как «трассы генерации» проходят мимо одна другой).

Вот эти алгоритмы, «проходящие мимо» друг друга (и ЭТИМ порождающие иррациональные числа) есть то, что существует объективно («в природе») – и они не зависят от того, приняли ли мы или не приняли актуальную бесконечность.

В более общем виде (и в чуточку другом ракурсе) об этом говорится в книге DEKIND на стр. 26 и ее окрестностях. Иррациональные числа – это продукты тех алгоритмов генерации, которые никогда (ни при каком конечном шаге) «не пересекутся» с алгоритмами генерации рациональных чисел. А трансцендентные числа – это продукты тех алгоритмов, которые никогда «не пересекутся» с алгоритмами генерации алгебраических чисел.

Образно говоря, алгоритмы генерации иррациональных чисел всегда проходят «между» рациональными числами (порождая тем самым «сечения» дедекиндовы), а алгоритмы генерации трансцендентных чисел всегда проходят «между» алгебраическими числами, не попадая ни на одно из них.

Всё дело в алгоритмах генерации и их взаимоотношениях. Алгоритмы первичны. А те множества чисел, в которые мы оформляем продукцию этих алгоритмов – это уже дело вторичное.

Я в свое время пытался это втолковать академику Решетняку, но он ответил (файл cauchy):

Я посмотрел стр. 75–80 № 114 мусоросборника МОИ и ничего поучительного там не обнаружил. Просто известное математическое доказательство переписано на другом языке.

Вот и всё, что этот академик-дурачок смог извлечь из объяснения ситуации при Постулате процессов.

Надеюсь, члены КИФ смогут извлечь больше и поймут, каким образом из «прохождения алгоритмов генерации мимо друг друга» возникает «иррациональность» и «трансцендентность» определенных чисел.

С уважением, В.Э.

---

[1] Счетно в традиционном понимании, где понятие «счетно» характеризует количество элементов.

Postulat1

от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

Кому: <kadissov.e@gmail.com>, <makarovmv2000@yandex.ru>

дата: 18 мар. 2019 г., 15:51

тема: О Постулате процессов

Уважаемые коллеги!

Прошло 9 дней с тех пор, как я 9 марта выставил на обсуждение черновик Главы 1 книги KIF01 (Glava1). За это время от вас не поступило никаких отзывов по существу дела. Не ясно, согласны ли вы с высказанными там установками, – не согласны ли?

А между тем эти установки фундаментальны, определяющие всю систему дальнейшей аргументации и доводов. И в первую очередь фундаментален «Постулат процессов»!

Он определяет всю природу математики: что такое есть математика? Или она – «то, не знаю что», лишь заданное аксиомами, – или она совокупность потенциальных продуктов определенных процессов?

Это вопрос настолько же фундаментальный, как и для термодинамики вопрос, «Что такое теплота?»: это переливания жидкости теплорода, – или это скорости движения молекул? (И аналогично в других хрестоматийных примерах противостояния Систем).

Мой опыт свидетельствует, что понимание этих вопросов людям почему-то дается очень и очень трудно. За 40 лет ни один математик так и не смог не только сообразить, что математика может не быть привычным ему с детства «тем, не знаю чем» с аксиомами, но и сообразить, что такой вопрос вообще может быть поставлен.

Находясь в плену своей неистребимой косности мышления, математики (хронологически последний среди них академик Ю.Г. Решетняк) ни за что не могли понять правильную постановку вопроса. Они всё время сбивались на такое представление, будто то, что я говорю о процессах, программах и их продуктах, означает нечто похожее на идеи конструктивистов. Мол, математику предлагается строить, употребляя (только) «конструктивные процессы» и т.д. (Ну, и тогда, во-первых, «это уже было раньше, до ВТ», и, во-вторых, «ни к чему толковому это не привело»).

Несмотря ни на какие объяснения (которые они в своем высокомерии слушали всегда невнимательно и поверхностно) Решетняк и другие математики никак не могли понять, что я (в форме ВТ) не предлагаю никак строить математику (в отличие от конструктивистов). На математику я смотрю как на уже построенное здание. Но я объясняю, какими процессами это здание строилось – что необходимо было для его постройки (чем математики пользовались – не осознавая, что они этим пользуются). Это нечто совсем другое, чем подход конструктивистов, но вбить эту разницу в тупые головы математиков оказалось невозможным за 40 лет.

Постулат процессов не есть предложение каким-то особым образом строить математику (как это неизменно выглядит в глазах Решетняка и компании); постулат процессов – это на самом деле основа для естественнонаучного объяснения природы математики.

Как я уже объяснял десятки и десятки раз, с Постулатом процессов всё в действительности обстоит очень просто: принимаем (на пробу) такой постулат и смотрим, можно ли при нем объяснить всё, что имеется в математике. Если невозможно, то отвергаем этот постулат. Если можно объяснить, то все вопли Решетняка и компании против него – пустой трёп. И все дела.

С уважением, В.Э.

Innumerum

от: Евгений Кадисов <kadissov.e@gmail.com>

Кому: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

копия: Максим Макаров <makarovmv2000@yandex.ru>

дата: 10 мар. 2019 г., 06:06

тема: Re: Глава 1

отправлено через: gmail.com

Уважаемые коллеги.

Прочёл первую главу и у меня возник вопрос. Похоже, что в системе М нет несчётных множеств. Как, в таком случае, быть с множеством иррациональных чисел? Считать, что таких чисел нет, или существует биекция множества иррациональных чисел с множеством натуральных чисел? Мне кажется, что надо показывать, что несчётные множества вовсе не таковы, как это принято в системе К.

С уважением Е.К. 

от: Максим Макаров <makarovmv2000@yandex.ru>

Кому: <kadissov.e@gmail.com>, <egle.valdis@gmail.com>

дата: 10 мар. 2019 г., 18:39

тема: Re: Глава 1

отправлено через: yandex.ru

Евгений Михайлович!

Множество иррациональных чисел является подмножеством множества вещественных чисел. Вы сами своим методом доказали счетность множества вещественных чисел на отрезке [0,1]. Из чего вытекает счетность множества всех вещественных чисел как декартового произведения двух счетных множеств. Любое подмножество счетного множества является счетным множеством – этот вывод одинаков в обеих системах. Что Вас смущает в иррациональных числах?

С уважением, М.В.

от: Евгений Кадисов <kadissov.e@gmail.com>

Кому: <makarovmv2000@yandex.ru>, <egle.valdis@gmail.com>

дата: 11 мар. 2019 г., 04:58

тема: Re: Глава 1

отправлено через: gmail.com

Коллеги.

Множество иррациональных чисел является подмножеством вещественных чисел. Но, похоже, что иррациональные числа нельзя пронумеровать. Или вы знаете, как их пронумеровать? Если нет, то следует переосмыслить понятие несчётного множества.

С уважением, Е.К.

от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

Кому: Евгений Кадисов <kadissov.e@gmail.com>

копия: Максим Макаров <makarovmv2000@yandex.ru>

дата: 11 мар. 2019 г., 12:31

тема: Re: Глава 1

отправлено через: gmail.com

Евгений Михайлович,

вопрос, который Вы опять поднимаете, уже обсуждался в письмах, опубликованных в постах 2019-02-17, 2019-02-22, 2019-02-23, 2019-02-24 и 2019-03-04.

Логическая операция «переосмысление понятий» является принципиально неправильной, и я всегда буду сопротивляться подобному приему мышления. Такая операция означает, что под общеизвестный и общепринятый термин подсовывается другое значение, другое содержание, искусственно создавая омонимию, путаницу и логический хаос. Правильной логической операцией вместо этого является: если у Вас есть новое содержание, новое понятие, то присвоить ему новое имя. (Вместо слова «несчетное» я Вам для Вашего нового понятия предлагал слово «ненумеруемо», но можете придумать другое). Слово «несчетное» же должно остаться с тем значением, какое оно имеет у кантористов.

Ваше новое понятие «несчетно по Кадисову» = «переосмысленно несчетно» = «ненуме­руемо» подразумевает, что множество иррациональных чисел (I) счетно, но его нельзя перенумеровать (потому что оно «плохо организовано для счета»). Множество I нельзя не только перенумеровать, но его нельзя и построить отдельным каким-то алгоритмом. Как Вы будете его строить? Чтобы получить это множество, Вы должны сначала построить множество R вещест­венных чисел, потом множество Q рациональных чисел, потом отобрать из R все Q и тогда уже то, что останется, будет множество I. И теперь задумайтесь, как Вы будете строить в виде десятичных дробей, например, отрезок [0, 1] из R и как из Q (оказывается, что алгоритмы-то одинаковые). Подумайте, что будет, когда актуальная бесконечность не введена (иррациональ­ных чисел вообще нет, есть только рациональные приближения к ним) и когда она введена (иррациональные числа есть рациональные, но с актуально бесконечным количеством цифр за запятой).

Так что сначала надо уяснить, что такое, собственно, есть «иррациональные числа», а «переосмысление их несчетности» этому отнюдь не способствует.

С уважением, В.Э.

от: Евгений Кадисов <kadissov.e@gmail.com>

Кому: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

копия: Максим Макаров <makarovmv2000@yandex.ru>

дата: 11 мар. 2019 г., 14:59

тема: Re: Глава 1

отправлено через: gmail.com

Коллеги.

Да, мы этот вопрос уже обсуждали, но к удовлетворительному решению не пришли. Да, если не принять актуальную бесконечность, то, кажется, нет обоснования их существованию. Но куда деть несоизмеримость этих чисел, которая была обнаружена ещё в древности. Вы пишете, что «множество иррациональных чисел (I) счетно». В том то и дело, что можно построить процесс получения цифр такого числа, но нельзя сконструировать процесс построения всего множества. Вот почему к этому множеству никак не подходит термин «счётное». Его элементы нельзя считать или нумеровать. Значит надо отобрать у кантористов этот термин и наполнить его правильным смыслом. Ведь всё очень просто. Множество счётно, если его элементы можно считать. Множество несчётно, если его элементы нельзя считать. И незачем в термин «несчётное» вкладывать тот нелепый смысл, который в него вкладывают кантористы. Если канторизм опровергнуть, то нелепый смысл сам собой отомрёт. Вы пишете, что этот термин «общеизвестный и общепринятый». Но ведь он принят только у кантористов.

В англоязычной Википедии есть статья о «спорах вокруг теории Кантора» («Controversy over Cantor's theory»). К сожалению, в русскоязычной Википедии подобной статьи я не нашёл. После этого у меня даже возникла мысль, что неплохо было бы перевести на русский (и, возможно, улучшить) ту статью. (Там недостаточно чётко разделяются понятия актуальной и потенциальной бесконечности). Мне там понравились слова Кронекера: «Я не знаю, чего в теории Кантора больше – философии или теологии, но в ней точно нет математики».

С уважением Е.К.

Glava1

от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

Кому: <kadissov.e@gmail.com>, <makarovmv2000@yandex.ru>

дата: 9 мар. 2019 г., 20:22

тема: Глава 1

отправлено через: gmail.com

Уважаемые коллеги!

В https://yadi.sk/i/B0GJdBiZGYAMWQ находится KIF01 с черновиком первой главы.

С уважением, В.Э.

Текст главы:

Глава 1.
Системы понятий и постулатов

§1. Принцип сравнения систем

Общеизвестно, что всякое учение располагает набором специфических для этого учения понятий (совокупность которых образует систему понятий данного учения) и опирается на некоторые основные предположения (называемые ниже постулатами), без истинности которых утверждения и выводы данного учения не имеют силы. Система понятий и постулаты вместе образуют фундамент учения, который в настоящей работе обозначается словами типа «Система A» (где буква идентифицирует какую-нибудь определенную систему). В качестве синонима термина «Система A» будем использовать также обозначение «Модель A».

Столкновение двух разных воззрений на какой-нибудь предмет всегда может быть пред­ставлено (и для ясного и четкого мышления именно должно быть представлено) как противопо­ставление двух разных систем A и B (моделей A и B), а процесс выбора между воззрениями должен представлять собой сравнительный анализ понятий и постулатов обеих систем с целью определения, которая из систем является более удовлетворительной по всей совокупности критериев оценки.

Такой подход мы называем Принципом сравнения систем.

Назовем три хрестоматийных примера применения Принципа сравнения систем в истории науки.

1. Геоцентрическая система Птолемея (Система G с Землей в центре Вселенной) и гелио­центрическая система Коперника (Система H с Солнцем в центре Вселенной). Центральные постулаты обеих систем определяли, чтó именно находится «в центре Вселенной» (у одной Земля, у другой Солнце); система понятий Модели G включала понятия о деферентах и эпициклах, а система понятий Модели H – понятия об орбитах планет. Как известно, в европейской истории отказ от применения Принципа сравнения систем при этом столкновении воззрений вел к драматическим последствиям, включающим костры инквизиции.

2. В области изучения теплоты в XVIII веке и в начале XIX века господствовала Система T, постулировавшая существование теплорода, особой материи, обладавшей, согласно Системе T, невесомостью, наибольшей из всех материй упругостью и способностью проникать в мельчай­шие поры тел, расширяя эти тела. В XIX веке Постулат теплорода был заменен Постулатом движения молекул и образована Система D – молекулярно-кинетическая теория теплоты. При смене Системы T на Систему D уже больше, чем при предыдущей паре систем, применялся Принцип сравнения систем и обошлось без костров, хотя страсти кипели и здесь, послужив в 1906 году одной из причин самоубийства Людвига Больцмана, наиболее видного защитника Системы D.

3. В области геометрии более двух тысяч лет господствовала Система E – геометрия Евклида, опирающаяся на Пятый постулат этой системы. Но в XIX веке этот постулат был заменен Н.И. Лобачевским на один из возможных альтернативных, и образована Система L – геометрия Лобачевского. Здесь обошлось без костров и самоубийств, хотя не обошлось без издевательств над Лобачевским. Всё же это классический пример применения Принципа сравне­ния систем, после которого обе системы продолжают существовать параллельно.

Несмотря на эти хрестоматийные примеры, хорошо известные всем образованным людям, и несмотря на кажущуюся простоту и очевидность вопроса, в реальных столкновениях воззрений даже в наше время Принцип сравнения систем обычно НЕ признается (что, скорее всего, можно будет наблюдать и в дальнейшей судьбе настоящей книги). Это обстоятельство делает выдвиже­ние и рассмотрение Принципа сравнения систем вещью отнюдь не тривиальной.

§2. Предмет настоящей книги

Настоящая книга (документ KIF01, выпущенный Комиссией имени Л.Д. Фаддеева) пред­ставляет собой применение Принципа сравнения систем в отношении канторизма[1] (обозначен­ного здесь как «Система K») и некоторых противоположных воззрений (обозначенных здесь как «Система M»).

Цель изложения – показать, как основополагающие вещи канторизма выглядят в Системе понятий и постулатов K, и как те же вещи выглядят в Системе понятий и постулатов M.

Читателю предоставляется возможность самому для себя произвести сравнение систем K и M и выбрать ту, которую он считает более стройной, логичной и правильной.

§3. Система машинная (Система M)

С точки зрения сопоставления понятий и постулатов Системы K и Системы M оказывается более удобным сначала описать Систему M, и лишь потом Систему K. Поэтому начнем с Системы M.

Противопоставление и обозначения этих двух систем впервые было введено в октябре 1981 года.[2] Первоначально «M» расшифровывалось как «материалистическая». Хотя такая ассоциация остается правильной и сейчас, для настоящего изложения в качестве главной лучше будет избрать другую интерпретацию: «машинная», понимая под этим вычислительную машину – компьютер.

3.1. Постулат процессов

Центральный постулат Системы M заключается в том, что все объекты, фигурирующие при сравнении ее с Системой K, рассматриваются как продукты деятельности определенных программ этой вычислительной машины, а все ситуации рассматриваются как происходящие внутри процессора такого компьютера.

Для Системы M возможно то и так, что и как возможно в «мире программ».

Такие установки Системы M на самом деле порождены представлением о том, что человеческий мозг действительно есть биологический компьютер, и всё, касающееся множеств, и на самом деле происходит в такой «машине обработки информации». Однако представления о функционировании мозга принадлежат уже области естествознания и сознательно исключаются из рамок настоящей книги как книги о логике.

С логической точки зрения Система M просто постулирует, что вся рассматриваемая область есть поле деятельности некоторых абстрактных программ, вложенных в этих программах алгоритмов или, в еще более абстрактной форме, – некоторых «процессов».

Этот основной постулат Системы M в рамках настоящей книги назовем Постулатом процессов, хотя его можно было бы назвать и Постулатом программ, Компьютерным постулатом и т.п.

Отметим теперь несколько понятий Системы M, которые будут играть важную роль при сравнении ее с Системой K.

3.2. Результаты процессов. Реальные и потенциальные продукты

В Системе M предполагается, что протекающие процессы (работающие программы и алгоритмы) имеют некоторый результат. Этот результат может заключаться в появлении нового объекта (в его генерации) или в некоторых манипуляциях с уже ранее существовавшими объектами (например, процесс может лишь как-то «отмечать» объекты).

Первая разновидность процессов называется генерирующими (процессами, программами, алгоритмами), вторая разновидность – перебирающими.

Вновь сгенерированный объект называется продуктом процесса (программы, алгоритма).

Если генерирующий процесс действительно происходит в физическом, реальном мире, то появившийся в результате продукт называется реальным продуктом (процесса, программы, алгоритма).

Но в теоретическом плане реальные продукты особого интереса не представляют. Для общей теории гораздо более важно не то, что процесс (программа, алгоритм) реально сделал, а то, что он в принципе, потенциально может сделать. Такие не существующие реально, но в принципе возможные продукты процессов (программ, алгоритмов) называются потенциальными продуктами и  играют важную роль в Системе M.

3.3. Потенциальная и актуальная бесконечность

Особую роль в рассматриваемой нами области играют процессы бесконечные, т.е. беско­нечно продолжающиеся. Ясно, что в природе, в физическом мире бесконечный процесс никогда не заканчивается, и поэтому его результат никогда не приобретает окончательных очертаний. (Если это процесс генерирующий, то у него никогда нет окончательного продукта).

Однако во многих отношениях бывает целесообразным допустить некоторую абстракцию и представить бесконечный процесс завершившимся (а его продукт «созданным до конца»). Такая умственная операция называется вводом актуальной бесконечности.

Если ввод актуальной бесконечности не сделан, то говорится, что рассуждения проходят в области потенциальной бесконечности. Если же ввод актуальной бесконечности осуществлен, то говорится, что рассуждения проводятся в области актуальной бесконечности.

В общем случае ввод актуальной бесконечности производится для одного конкретного бесконечного процесса (когда считается завершившимся именно он). Таким образом, в принципе возможна ситуация, когда в некоторых рассуждениях один процесс разбирается в области потенциальной бесконечности, а другой процесс в области актуальной бесконечности.

3.4. Числа

Согласно Постулату процессов, числа тоже являются потенциальными продуктами некото­рых процессов (программ, алгоритмов). Базовые алгоритмы, создающие числа, описаны во многих местах, например, в Chisla-Lase1. Эти базовые алгоритмы занимаются классификацией множеств и пар множеств по количеству элементов в них и по их взаимной ориентации, и числа являются потенциальными продуктами такой классификации – ее таксонами. Числам как таксонам классификации множеств и пар множеств могут быть сопоставлены нотаты – графи­ческие обозначения по определенной системе. Нотаты тоже генерируются некоторыми процес­сами (программами, алгоритмами), но уже другими, чем собственно числа. Однако в силу соответствия между собственно числами и нотатами, последние могут рассматриваться и исполь­зоваться в качестве представителей и заменителей собственно чисел, причем для упрощения высказываний нотаты могут быть названы «числами». Такая практика получила особенно широкое распространение в канторизме (Системе K), и мы, преследуя цель сравнения Системы K с Системой M, тоже вынуждены пользоваться этой практикой, хотя и понимаем, что это не совсем точно.

Итак, в дальнейшем в этой книге под словом «числа» понимаются нотаты чисел, гене­рируемые арабскими цифрами в той или иной системе счисления (десятичной, двоичной и т.д.).

3.5. Множества

Согласно Постулату процессов, абстрактные множества тоже создаются процессами (про­граммами, алгоритмами), являются продуктами генерации. Бесконечные множества создаются бесконечным процессом генерации. В зависимости от того, введена ли актуальная бесконечность для данного процесса генерации, или нет, множество является потенциально или актуально бесконечным.

3.6. Независимая и зависимая генерация

Если имеются два процесса A и B, генерирующих два множества A и B, то возможны два принципиально разных случая:

1) процессы A и B протекают независимо друг от друга и никак не связаны между собой;

2) процессы A и B связаны между собой какой-то определенной зависимостью.

Простейшим примером, иллюстрирующим независимую и зависимую генерацию, является генерация множества натуральных чисел (A) и множества четных чисел (B). При независимой генерации оба процесса не связаны, их шаги и, соответственно, их продукты могут быть сопоставлены:

A:              1, 2, 3, 4, 5, ...

B:              2, 4, 6, 8, 10, ...

Но если процессы A и B связаны между собой так, что процесс B «следит» за процессом A и ничего не создает, когда в множестве A появляется нечетное число, а когда там появляется четное число, то «переписывает» его в свое множество B, тогда элементы множеств A и B уже не могут быть сопоставлены, и после шестого шага процесса A картина будет такой:

A:              1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

B:              2, 4, 6, ...

В этом случае в множестве B в два раза меньше элементов, чем в множестве A.

Всякий программист легко представит себе, каким программам и подпрограммам соответ­ствует всё выше изложенное. Ещё раз подчеркиваем, что Система M – это «машинная» система, соответствующая «миру программ и алгоритмов».

§4. Система канторизма (Система K)

4.1. Постулат существования

Система K (система канторизма) отличается от Системы M в первую очередь тем, что в ней Постулат процессов заменен на противоположный (назовем его Постулатом существования). Объекты (числа, множества и т.д.) не рассматриваются как генерируемые какими-то процессами, а как изначально существующие.

Относительно способа появления и тем самым природы этих объектов главный основопо­ложник Системы K (Георг Кантор) считал, что объекты эти имеют божественную природу, существуют в уме Бога и только изучаются людьми методами теории множеств.[3]

Более поздние последователи канторизма отказались от теологической концепции объектов теории множеств, но и не выдвинули взамен ее никакую другую (в то же время продолжая отрицать и концепцию процессов).

В настоящее время канторизм не имеет никакой концепции о природе рассматриваемых им объектов, интересоваться их природой считается чем-то вроде кощунства и недостойным «настоящего математика». Объекты эти должны рассматриваться просто как «существующие» – в чем и проявляется Постулат существования.

4.2. Постулат Кантора

Постулат существования (и вызванная им неопределенность в отношении природы изучаемых объектов) ослабляет Систему K по сравнению с Системой M, но еще не делает ее противоречащей Системе M.

Фундаментальное противоречие между этими системами вносит другой постулат канториз­ма, который и определяет всю специфику этого учения; он назван Постулатом Кантора.

Постулат Кантора устанавливает, что «равномощными» (т.е. одинаковыми по количеству элементов) считаются все множества, элементы которых можно пронумеровать (т.е. установить биекцию этого множества с множеством натуральных чисел N).

В категориях Системы M это означает, что все множества объявляются независимо генерируемыми, а зависимая генерация из поля зрения исключается.

Однако разница между независимой и зависимой генерацией объектов – это вещь объек­тивного мира, и искусственное наведение слепоты, не позволяющей эту разницу разглядеть, неизбежно дает свои рефлексы иным способом: в появлении «несчетных» множеств, «алефиче­ской шкалы» и «трансфинитных чисел». Все эти вещи являются следствиями принятия Посту­лата Кантора, который стер объективную разницу между независимой и зависимой генерацией множеств.

4.3. Биекция, равномощность и счетность

Принятие Постулата Кантора привело в Системе K также к преувеличению и искажению роли биекции, взаимно однозначного соответствия.

В Системе M у биекции нет той роли, какую она играет в Системе K. Элементы множеств можно однозначно сопоставить тогда, когда можно сопоставить шаги генерирующих процессов. Но сами генерирующие процессы[4] могут быть связаны по-разному. В §3.6 было показано, что биекцию между натуральными числами можно установить при независимой их генерации, и нельзя установить при зависимой генерации названного вида, потому что при этом виде генерации натуральных чисел будет в два раза больше, чем четных. Однако генерацию можно организовать и так, чтобы, например, четных чисел было в два раза больше, чем натуральных: пока процесс A создает число «1», процесс B создает «2» и «4»; пока процесс A создает «2», процесс B создает «6» и «8» и т.д.

В Системе M возможность биекции хоть и характеризует количество элементов в множествах, но не играет существенной роли: всё решают соотношения генерирующих процессов. В Системе K же, когда Постулатом Кантора из рассмотрения исключена зависимая генерация и все множества рассматриваются как независимо генерируемые, они первоначально становятся все равномощными (биекция возможна между всеми) и все счетными (биекция с N).

Это делает понятия биекции, равномощности и счетности бессмысленными в Системе K. Однако уничтоженная Постулатом Кантора разница между независимой и зависимой генерацией не дает себя уничтожить бесследно, выскакивает в другом месте как противоречие в рассужде­ниях канторизма, и это противоречие интерпретируется кантористами[5] как невозможность биек­ции между данными множествами и, следовательно, как существование несчетных множеств.

И вот тогда понятия биекции, равномощности и счетности–несчетности становятся исклю­чительно важными для канторизма, основополагающими его понятиями.

4.4. Несчетные множества

В Системе M все создаваемые процессами множества являются счетными (т.е. процессы генерации можно организовать так, что возможна биекция данного множества с N). В то же время эти «счетные» множества могут различаться по «мощности», т.е. по количеству элементов в них (если процессы генерации организовать по-другому зависимым образом). Это делает понятия равномощности и счетности если не совсем бессмысленными для Системы M, то, по крайней мере, очень незначительными.

В Системе K же появляются несчетные множества, существование которых только и пре­вращает канторизм в то, чем он всем видится. Несчетные множества – это стержень канторизма.

Появление несчетных множеств в канторизме обставлено как теоремы, которые имеют свои доказательства, т.е. претендуют на некоторую абсолютно истинную логическую силу, сравнимую, например, с силой доказательства теоремы Пифагора в евклидовой геометрии.

Но как теорема Пифагора имеет силу только в Системе E (евклидовой геометрии) и теряет силу в Системе L (геометрии Лобачевского), так и все доказательства канторизма выглядят состоятельными только в Системе K, а в Системе M не имеют никакой доказательной силы.

Следующая глава 2 будет посвящена разбору доказательств существования несчетных множеств, преподносимых кантористами. Эти доказательства будут рассмотрены не только с точки зрения Системы K (как это подается кантористами), но и с точки зрения Системы M.

В этой главе 1 были изложены основные предпосылки такого сравнительного разбора, а остальные детали будем вводить по ходу дела.

---

[1] Термин «канторизм» обозначает учение Георга Кантора (1845–1918) о бесконечных множествах, и в широкое употребление попал из работ Анри Пуанкаре. (См., напр., «Наука и метод», Poinc3, стр.14).

[2] В полемике между Валдисом Эгле и преподавателями Латвийского государственного универси­тета, кандидатами ф.-м. наук К. Подниексом и П. Кикустом. См. книгу TRANS1, стр.76.

[3] См., напр., книгу DEKIND, стр.37–40 и оригинальные тексты, на которые она ссылается.

[4] Речь везде здесь и ниже о бесконечных процессах и бесконечных множествах!

[5] Словом «кантористы» (по образцу таких слов, как, например, «марксисты») мы обозначаем после­дователей канторизма.