Glava1

от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

Кому: <kadissov.e@gmail.com>, <makarovmv2000@yandex.ru>

дата: 9 мар. 2019 г., 20:22

тема: Глава 1

отправлено через: gmail.com

Уважаемые коллеги!

В https://yadi.sk/i/B0GJdBiZGYAMWQ находится KIF01 с черновиком первой главы.

С уважением, В.Э.

Текст главы:

Глава 1.
Системы понятий и постулатов

§1. Принцип сравнения систем

Общеизвестно, что всякое учение располагает набором специфических для этого учения понятий (совокупность которых образует систему понятий данного учения) и опирается на некоторые основные предположения (называемые ниже постулатами), без истинности которых утверждения и выводы данного учения не имеют силы. Система понятий и постулаты вместе образуют фундамент учения, который в настоящей работе обозначается словами типа «Система A» (где буква идентифицирует какую-нибудь определенную систему). В качестве синонима термина «Система A» будем использовать также обозначение «Модель A».

Столкновение двух разных воззрений на какой-нибудь предмет всегда может быть пред­ставлено (и для ясного и четкого мышления именно должно быть представлено) как противопо­ставление двух разных систем A и B (моделей A и B), а процесс выбора между воззрениями должен представлять собой сравнительный анализ понятий и постулатов обеих систем с целью определения, которая из систем является более удовлетворительной по всей совокупности критериев оценки.

Такой подход мы называем Принципом сравнения систем.

Назовем три хрестоматийных примера применения Принципа сравнения систем в истории науки.

1. Геоцентрическая система Птолемея (Система G с Землей в центре Вселенной) и гелио­центрическая система Коперника (Система H с Солнцем в центре Вселенной). Центральные постулаты обеих систем определяли, чтó именно находится «в центре Вселенной» (у одной Земля, у другой Солнце); система понятий Модели G включала понятия о деферентах и эпициклах, а система понятий Модели H – понятия об орбитах планет. Как известно, в европейской истории отказ от применения Принципа сравнения систем при этом столкновении воззрений вел к драматическим последствиям, включающим костры инквизиции.

2. В области изучения теплоты в XVIII веке и в начале XIX века господствовала Система T, постулировавшая существование теплорода, особой материи, обладавшей, согласно Системе T, невесомостью, наибольшей из всех материй упругостью и способностью проникать в мельчай­шие поры тел, расширяя эти тела. В XIX веке Постулат теплорода был заменен Постулатом движения молекул и образована Система D – молекулярно-кинетическая теория теплоты. При смене Системы T на Систему D уже больше, чем при предыдущей паре систем, применялся Принцип сравнения систем и обошлось без костров, хотя страсти кипели и здесь, послужив в 1906 году одной из причин самоубийства Людвига Больцмана, наиболее видного защитника Системы D.

3. В области геометрии более двух тысяч лет господствовала Система E – геометрия Евклида, опирающаяся на Пятый постулат этой системы. Но в XIX веке этот постулат был заменен Н.И. Лобачевским на один из возможных альтернативных, и образована Система L – геометрия Лобачевского. Здесь обошлось без костров и самоубийств, хотя не обошлось без издевательств над Лобачевским. Всё же это классический пример применения Принципа сравне­ния систем, после которого обе системы продолжают существовать параллельно.

Несмотря на эти хрестоматийные примеры, хорошо известные всем образованным людям, и несмотря на кажущуюся простоту и очевидность вопроса, в реальных столкновениях воззрений даже в наше время Принцип сравнения систем обычно НЕ признается (что, скорее всего, можно будет наблюдать и в дальнейшей судьбе настоящей книги). Это обстоятельство делает выдвиже­ние и рассмотрение Принципа сравнения систем вещью отнюдь не тривиальной.

§2. Предмет настоящей книги

Настоящая книга (документ KIF01, выпущенный Комиссией имени Л.Д. Фаддеева) пред­ставляет собой применение Принципа сравнения систем в отношении канторизма[1] (обозначен­ного здесь как «Система K») и некоторых противоположных воззрений (обозначенных здесь как «Система M»).

Цель изложения – показать, как основополагающие вещи канторизма выглядят в Системе понятий и постулатов K, и как те же вещи выглядят в Системе понятий и постулатов M.

Читателю предоставляется возможность самому для себя произвести сравнение систем K и M и выбрать ту, которую он считает более стройной, логичной и правильной.

§3. Система машинная (Система M)

С точки зрения сопоставления понятий и постулатов Системы K и Системы M оказывается более удобным сначала описать Систему M, и лишь потом Систему K. Поэтому начнем с Системы M.

Противопоставление и обозначения этих двух систем впервые было введено в октябре 1981 года.[2] Первоначально «M» расшифровывалось как «материалистическая». Хотя такая ассоциация остается правильной и сейчас, для настоящего изложения в качестве главной лучше будет избрать другую интерпретацию: «машинная», понимая под этим вычислительную машину – компьютер.

3.1. Постулат процессов

Центральный постулат Системы M заключается в том, что все объекты, фигурирующие при сравнении ее с Системой K, рассматриваются как продукты деятельности определенных программ этой вычислительной машины, а все ситуации рассматриваются как происходящие внутри процессора такого компьютера.

Для Системы M возможно то и так, что и как возможно в «мире программ».

Такие установки Системы M на самом деле порождены представлением о том, что человеческий мозг действительно есть биологический компьютер, и всё, касающееся множеств, и на самом деле происходит в такой «машине обработки информации». Однако представления о функционировании мозга принадлежат уже области естествознания и сознательно исключаются из рамок настоящей книги как книги о логике.

С логической точки зрения Система M просто постулирует, что вся рассматриваемая область есть поле деятельности некоторых абстрактных программ, вложенных в этих программах алгоритмов или, в еще более абстрактной форме, – некоторых «процессов».

Этот основной постулат Системы M в рамках настоящей книги назовем Постулатом процессов, хотя его можно было бы назвать и Постулатом программ, Компьютерным постулатом и т.п.

Отметим теперь несколько понятий Системы M, которые будут играть важную роль при сравнении ее с Системой K.

3.2. Результаты процессов. Реальные и потенциальные продукты

В Системе M предполагается, что протекающие процессы (работающие программы и алгоритмы) имеют некоторый результат. Этот результат может заключаться в появлении нового объекта (в его генерации) или в некоторых манипуляциях с уже ранее существовавшими объектами (например, процесс может лишь как-то «отмечать» объекты).

Первая разновидность процессов называется генерирующими (процессами, программами, алгоритмами), вторая разновидность – перебирающими.

Вновь сгенерированный объект называется продуктом процесса (программы, алгоритма).

Если генерирующий процесс действительно происходит в физическом, реальном мире, то появившийся в результате продукт называется реальным продуктом (процесса, программы, алгоритма).

Но в теоретическом плане реальные продукты особого интереса не представляют. Для общей теории гораздо более важно не то, что процесс (программа, алгоритм) реально сделал, а то, что он в принципе, потенциально может сделать. Такие не существующие реально, но в принципе возможные продукты процессов (программ, алгоритмов) называются потенциальными продуктами и  играют важную роль в Системе M.

3.3. Потенциальная и актуальная бесконечность

Особую роль в рассматриваемой нами области играют процессы бесконечные, т.е. беско­нечно продолжающиеся. Ясно, что в природе, в физическом мире бесконечный процесс никогда не заканчивается, и поэтому его результат никогда не приобретает окончательных очертаний. (Если это процесс генерирующий, то у него никогда нет окончательного продукта).

Однако во многих отношениях бывает целесообразным допустить некоторую абстракцию и представить бесконечный процесс завершившимся (а его продукт «созданным до конца»). Такая умственная операция называется вводом актуальной бесконечности.

Если ввод актуальной бесконечности не сделан, то говорится, что рассуждения проходят в области потенциальной бесконечности. Если же ввод актуальной бесконечности осуществлен, то говорится, что рассуждения проводятся в области актуальной бесконечности.

В общем случае ввод актуальной бесконечности производится для одного конкретного бесконечного процесса (когда считается завершившимся именно он). Таким образом, в принципе возможна ситуация, когда в некоторых рассуждениях один процесс разбирается в области потенциальной бесконечности, а другой процесс в области актуальной бесконечности.

3.4. Числа

Согласно Постулату процессов, числа тоже являются потенциальными продуктами некото­рых процессов (программ, алгоритмов). Базовые алгоритмы, создающие числа, описаны во многих местах, например, в Chisla-Lase1. Эти базовые алгоритмы занимаются классификацией множеств и пар множеств по количеству элементов в них и по их взаимной ориентации, и числа являются потенциальными продуктами такой классификации – ее таксонами. Числам как таксонам классификации множеств и пар множеств могут быть сопоставлены нотаты – графи­ческие обозначения по определенной системе. Нотаты тоже генерируются некоторыми процес­сами (программами, алгоритмами), но уже другими, чем собственно числа. Однако в силу соответствия между собственно числами и нотатами, последние могут рассматриваться и исполь­зоваться в качестве представителей и заменителей собственно чисел, причем для упрощения высказываний нотаты могут быть названы «числами». Такая практика получила особенно широкое распространение в канторизме (Системе K), и мы, преследуя цель сравнения Системы K с Системой M, тоже вынуждены пользоваться этой практикой, хотя и понимаем, что это не совсем точно.

Итак, в дальнейшем в этой книге под словом «числа» понимаются нотаты чисел, гене­рируемые арабскими цифрами в той или иной системе счисления (десятичной, двоичной и т.д.).

3.5. Множества

Согласно Постулату процессов, абстрактные множества тоже создаются процессами (про­граммами, алгоритмами), являются продуктами генерации. Бесконечные множества создаются бесконечным процессом генерации. В зависимости от того, введена ли актуальная бесконечность для данного процесса генерации, или нет, множество является потенциально или актуально бесконечным.

3.6. Независимая и зависимая генерация

Если имеются два процесса A и B, генерирующих два множества A и B, то возможны два принципиально разных случая:

1) процессы A и B протекают независимо друг от друга и никак не связаны между собой;

2) процессы A и B связаны между собой какой-то определенной зависимостью.

Простейшим примером, иллюстрирующим независимую и зависимую генерацию, является генерация множества натуральных чисел (A) и множества четных чисел (B). При независимой генерации оба процесса не связаны, их шаги и, соответственно, их продукты могут быть сопоставлены:

A:              1, 2, 3, 4, 5, ...

B:              2, 4, 6, 8, 10, ...

Но если процессы A и B связаны между собой так, что процесс B «следит» за процессом A и ничего не создает, когда в множестве A появляется нечетное число, а когда там появляется четное число, то «переписывает» его в свое множество B, тогда элементы множеств A и B уже не могут быть сопоставлены, и после шестого шага процесса A картина будет такой:

A:              1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

B:              2, 4, 6, ...

В этом случае в множестве B в два раза меньше элементов, чем в множестве A.

Всякий программист легко представит себе, каким программам и подпрограммам соответ­ствует всё выше изложенное. Ещё раз подчеркиваем, что Система M – это «машинная» система, соответствующая «миру программ и алгоритмов».

§4. Система канторизма (Система K)

4.1. Постулат существования

Система K (система канторизма) отличается от Системы M в первую очередь тем, что в ней Постулат процессов заменен на противоположный (назовем его Постулатом существования). Объекты (числа, множества и т.д.) не рассматриваются как генерируемые какими-то процессами, а как изначально существующие.

Относительно способа появления и тем самым природы этих объектов главный основопо­ложник Системы K (Георг Кантор) считал, что объекты эти имеют божественную природу, существуют в уме Бога и только изучаются людьми методами теории множеств.[3]

Более поздние последователи канторизма отказались от теологической концепции объектов теории множеств, но и не выдвинули взамен ее никакую другую (в то же время продолжая отрицать и концепцию процессов).

В настоящее время канторизм не имеет никакой концепции о природе рассматриваемых им объектов, интересоваться их природой считается чем-то вроде кощунства и недостойным «настоящего математика». Объекты эти должны рассматриваться просто как «существующие» – в чем и проявляется Постулат существования.

4.2. Постулат Кантора

Постулат существования (и вызванная им неопределенность в отношении природы изучаемых объектов) ослабляет Систему K по сравнению с Системой M, но еще не делает ее противоречащей Системе M.

Фундаментальное противоречие между этими системами вносит другой постулат канториз­ма, который и определяет всю специфику этого учения; он назван Постулатом Кантора.

Постулат Кантора устанавливает, что «равномощными» (т.е. одинаковыми по количеству элементов) считаются все множества, элементы которых можно пронумеровать (т.е. установить биекцию этого множества с множеством натуральных чисел N).

В категориях Системы M это означает, что все множества объявляются независимо генерируемыми, а зависимая генерация из поля зрения исключается.

Однако разница между независимой и зависимой генерацией объектов – это вещь объек­тивного мира, и искусственное наведение слепоты, не позволяющей эту разницу разглядеть, неизбежно дает свои рефлексы иным способом: в появлении «несчетных» множеств, «алефиче­ской шкалы» и «трансфинитных чисел». Все эти вещи являются следствиями принятия Посту­лата Кантора, который стер объективную разницу между независимой и зависимой генерацией множеств.

4.3. Биекция, равномощность и счетность

Принятие Постулата Кантора привело в Системе K также к преувеличению и искажению роли биекции, взаимно однозначного соответствия.

В Системе M у биекции нет той роли, какую она играет в Системе K. Элементы множеств можно однозначно сопоставить тогда, когда можно сопоставить шаги генерирующих процессов. Но сами генерирующие процессы[4] могут быть связаны по-разному. В §3.6 было показано, что биекцию между натуральными числами можно установить при независимой их генерации, и нельзя установить при зависимой генерации названного вида, потому что при этом виде генерации натуральных чисел будет в два раза больше, чем четных. Однако генерацию можно организовать и так, чтобы, например, четных чисел было в два раза больше, чем натуральных: пока процесс A создает число «1», процесс B создает «2» и «4»; пока процесс A создает «2», процесс B создает «6» и «8» и т.д.

В Системе M возможность биекции хоть и характеризует количество элементов в множествах, но не играет существенной роли: всё решают соотношения генерирующих процессов. В Системе K же, когда Постулатом Кантора из рассмотрения исключена зависимая генерация и все множества рассматриваются как независимо генерируемые, они первоначально становятся все равномощными (биекция возможна между всеми) и все счетными (биекция с N).

Это делает понятия биекции, равномощности и счетности бессмысленными в Системе K. Однако уничтоженная Постулатом Кантора разница между независимой и зависимой генерацией не дает себя уничтожить бесследно, выскакивает в другом месте как противоречие в рассужде­ниях канторизма, и это противоречие интерпретируется кантористами[5] как невозможность биек­ции между данными множествами и, следовательно, как существование несчетных множеств.

И вот тогда понятия биекции, равномощности и счетности–несчетности становятся исклю­чительно важными для канторизма, основополагающими его понятиями.

4.4. Несчетные множества

В Системе M все создаваемые процессами множества являются счетными (т.е. процессы генерации можно организовать так, что возможна биекция данного множества с N). В то же время эти «счетные» множества могут различаться по «мощности», т.е. по количеству элементов в них (если процессы генерации организовать по-другому зависимым образом). Это делает понятия равномощности и счетности если не совсем бессмысленными для Системы M, то, по крайней мере, очень незначительными.

В Системе K же появляются несчетные множества, существование которых только и пре­вращает канторизм в то, чем он всем видится. Несчетные множества – это стержень канторизма.

Появление несчетных множеств в канторизме обставлено как теоремы, которые имеют свои доказательства, т.е. претендуют на некоторую абсолютно истинную логическую силу, сравнимую, например, с силой доказательства теоремы Пифагора в евклидовой геометрии.

Но как теорема Пифагора имеет силу только в Системе E (евклидовой геометрии) и теряет силу в Системе L (геометрии Лобачевского), так и все доказательства канторизма выглядят состоятельными только в Системе K, а в Системе M не имеют никакой доказательной силы.

Следующая глава 2 будет посвящена разбору доказательств существования несчетных множеств, преподносимых кантористами. Эти доказательства будут рассмотрены не только с точки зрения Системы K (как это подается кантористами), но и с точки зрения Системы M.

В этой главе 1 были изложены основные предпосылки такого сравнительного разбора, а остальные детали будем вводить по ходу дела.

---

[1] Термин «канторизм» обозначает учение Георга Кантора (1845–1918) о бесконечных множествах, и в широкое употребление попал из работ Анри Пуанкаре. (См., напр., «Наука и метод», Poinc3, стр.14).

[2] В полемике между Валдисом Эгле и преподавателями Латвийского государственного универси­тета, кандидатами ф.-м. наук К. Подниексом и П. Кикустом. См. книгу TRANS1, стр.76.

[3] См., напр., книгу DEKIND, стр.37–40 и оригинальные тексты, на которые она ссылается.

[4] Речь везде здесь и ниже о бесконечных процессах и бесконечных множествах!

[5] Словом «кантористы» (по образцу таких слов, как, например, «марксисты») мы обозначаем после­дователей канторизма.