2018-01-28

Egle-2018-01-28


от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>
Кому: "Попов Н.А." <popov_na@list.ru>
дата: 28 января 2018 г., 18:33
тема: Re: теория множеств
отправлено через: gmail.com
 

Ответ Н.А. Попову


Уважаемый Н.А.,
Вы написали:
По совету С.С. Кутателадзе я ознакомился с некоторыми записками, поданными в комиссию Л.Д. Фаддеева, в том числе с Вашим файлом от 15.09.2017 [F001] о доказательстве теоремы Кантора.
Спасибо Вам за письмо и С.С. Кутателадзе за совет. Станьте членами Комиссии имени Л.Д. Фаддеева, чтобы в течение более длительного времени разобраться с ситуацией досконально.
1. Далее в Вашем письме:
Вы пишете: «Постулат Кантора заключается в том, что все бесконечности (обозванные кантористами «счетными») объявляются «равномощными».» Прежде всего, замечу, что Вы, очевидно, ошиблись в употреблении круглых скобок. По-видимому, Вы хотели сказать следующее: «Постулат Кантора заключается в том, что все бесконечности, обозванные кантористами «счетными», объявляются «равномощными».» Иначе получается, что кантористы все вообще бесконечности обозвали счетными и объявили равномощными.
Моя фраза лаконична, но правильна как со скобками, так и без них. (В оригинале к фразе имеется подстрочное примечание со ссылкой на одно из многочисленных мест, где ситуация разъясняется подробнее).
Логика канторизма такова: а) сначала все бесконечные множества объявляются равномощными и обзываются «счетными»; б) потом кантористы думают, что нашли доказательства существования также «несчетных» множеств; в) на самом деле все эти доказательства несостоятельны, и таким образом получается, что кантористами названы «счетными» и объявлены равномощными именно ВСЕ множества.
Эрнст Цермело (редактор того немецкого издания трудов Кантора, с которого Медведев делал русский перевод) писал в комментарии к самой первой работе Кантора, где он полагал, что доказал существование «несчетных» множеств (МОИ № 5, стр.32; https://yadi.sk/d/nfv1JBE7ri3Ej, стр.21–22):
Приведенное в §2 доказательство «несчетности» действительных чисел удалось Кантору, как он утверждает сам, с трудом и после нескольких тщетных попыток. Оно представляется нам сегодня несравненно более глубоким результатом данного исследования, а по его методу оно типично для специфически теоретико-множественного способа умозаключений. Только после доказательства того, что существуют и вполне определенные «несчетные» математические совокупности, понятие «счетности» получает смысл и значение, и тогда переход к общему понятию «мощности» является лишь следующим шагом.
Прав Цермело, что понятия «счетности» и «мощности» получают «смысл и значение» только в том случае, если существуют также и множества «несчетные». Но они не существуют. Мнение о их существовании является следствием неразберихи в понятиях. (На такой неразберихе построен весь канторизм).
Чтобы разобраться в понятиях (и построить правильную систему понятий) необходимо понять разницу между двумя вещами, называемыми у нас зависимой и независимой генерацией. Эти вещи описывались мной десятки (если не сотни) раз; одно из этих многочисленных описаний можно найти, например, в документах A305 и A306.
При независимой генерации все бесконечные множества имеют одинаковую «мощность»: все «счетны». При зависимой генерации можно установить любые соотношения между «мощностями» множеств, связав  соответствующим образом генерирующие алгоритмы.
Иллюзия кантористов о якобы существующих «несчетных» множествах создается в основном перескакиванием с независимой генерации на зависимую и обратно. Там, где они находят «счетные» множества, они пользуются независимой генерацией, а там, где находят «несчетные», перескакивают на зависимую. Всё это подробно описано, например, в МОИ № 5 (прямо с самого начала), а также во многих других местах.
Таким образом, нет «счетных» и «несчетных» множеств, а любое бесконечное множество можно сделать как «счетным», так и «несчетным». При отсутствии понимания этого факта канторизм является просто одной определенной комбинацией: когда одни множества сделаны (считаются) «счетными», а другие «несчетными».
2. Далее в Вашем письме:
Сразу же возникает вопрос к Вам: а как Вы понимаете равномощность множеств? Какие множества Вы считаете равномощными? От этого Оочень сильно зависит смысл Вашей фразы. Понятие равномощности, а значит и определение равномощности (я уже не говорю о понятии мощности множества) лежит в самых основах канторовской теории множеств. Или Вы хотите обойтись без этого понятия? Тогда это будет другая теория множеств. А без канторовской, по-видимому, можно и обойтись. Не спорю.
Бесконечные множества равномощны тогда, когда синхронизированы их алгоритмы генерации. То есть, пока генератор множества M1 создает N элементов, генератор множества M2 тоже создает N элементов, и эта синхронизация сохраняется всегда – на пути к бесконечности и в самой бесконечности. Тогда в этих множествах одинаковое количество элементов, между этими элементами можно установить биекцию (взаимно однозначное соответствие), и мы говорим, что они «равномощны».
В канторизме понятие равномощности определено нечетко и расплывчато. Они не понимают, что именно синхронизация алгоритмов генерации множеств является основой основ, которая обеспечивает и биекцию и равномощность. Поэтому у них рассуждения путанны.
А синхронизировать алгоритмы можно по-разному. Так, если в M1 мы генерируем натуральные числа, а в M2 генерируем четные числа, и синхронизируем генерации так, чтобы в M2 возникал очередной элемент одновременно с элементом множества M1, то четных чисел будет столько же, сколько натуральных (это независимая генерация, и множества равномощны). А если мы создаем элемент в M2 только тогда, когда в M1 появился четный элемент (т.е. через раз), то четных чисел будет в два раза меньше, чем натуральных (зависимая генерация, биекции нет, множества не равномощны).
Если в M2 мы генерируем все подмножества множества M1, а в N генерируем натуральные числа, то генерацию N мы можем синхронизировать как с генерацией M1, так и с генерацией M2. Если мы выберем первый вариант, то M1 окажется «счетным» множеством, а M2 «несчетным» (это та комбинация, которую избрали кантористы и считают единственно возможной). Если же мы выберем второй вариант (и синхронизируем генерацию N с генерацией M2), то «счетным» окажется множество всех подмножеств M2, а M1 будет «субсчетным» (т.е. бесконечным, но меньшей мощности, чем у множества натуральных чисел).
Это естественные (и самые простые) представления, а в канторизме всё это неестественно перекошено.
3. Далее Ваш текст:
Если Вы критикуете канторовскую теорию множеств, то не надо ее искажать. Ни в какой литературе по этой теории я не встречал сформулированный Вами «постулат Кантора». Нет никакого «постулата Кантора» в его теории множеств, а есть только определение равномощности (через понятие взаимно однозначного соответствия), из которого вытекает нарушение принципа (аксиомы) «часть меньше целого».
Анализ логических оснований какого-нибудь учения не является его искажением. Такой анализ должны были проделать сами кантористы, но они этого не сделали (что является большим недостатком их теории и существенным обвинением в их адрес; а анализ раскрывает несостоятельность этого учения).
Постулат – это предположение, которое требуется, чтобы какие-то рассуждения оказались верными (см., напр., документ A098). Так, например, первый постулат Евклида: «Требуется, чтобы от всякой точки до всякой точки можно было про­вести прямую линию» (если это нельзя будет сделать – а реально на песке александрийского пляжа это и нельзя было сделать, – то все геометрические рассуждения оказываются несостоятельными).
Определенные предположения требуются и для того, чтобы верными оказались рассуждения кантористов. И очень плохо, если они сами не понимают, какие именно предположения для этого требуются; плохо, что мне приходится им это объяснять.
Так, в приведенном выше примере с множеством M2 всех подмножеств множества M1 для того, чтобы картина, рисуемая кантористами, оказалась верной («M1 счетно, M2 несчетно»), требуется, чтобы биекция у N существовала именно с M1, а не с M2. Это в данном случае и есть постулат кантористов. Он может быть заменен на противоположный постулат: биекция у N существует именно с M2, а не с M1. Тогда картина кантористов не верна; тогда M2 счетно, а M1 субсчетно.
За 37 лет, в течение которых я объясняю математикам эти вещи, не было ни одного математика, который это бы понял (а их было около сотни). Нам, компьютерным программистам эти вещи кажутся очень простыми, но, видимо, у математиков нет таких мозговых мощностей, у них отсутствует абстрактное воображение и они не способны на логическое мышление, которое оперировало бы различными постулатами и вытекающими из них системами. Последним математиком, кто демонстрировал это отсутствие и эту неспособность, был академик Ю.Г. Решетняк.
В других рассуждениях кантористов предположения, требующиеся для истинности этих рассуждений, будут принимать другую форму. Но всегда присутствует некоторое предположение, при замене которого на противоположное мы имеем совсем другую картину, нежели та, что рисуют кантористы. В общем случае такое предположение и называется у нас «Постулатом Кантора». Наиболее наглядная и часто используемая его форма: предположение, что бесконечные множества с N элементами и с aN элементами будут иметь одинаковую мощность (этот постулат требуется, чтобы можно было провести диагональный процесс и получить диагональный элемент – и этот элемент показывает вовсе не существование «несчетных» множеств, а показывает, что множество с N элементами и множество с aN элементами не могут быть равномощными, т.е. показывает абсурдность Постулата Кантора).
4. Еще Ваши слова:
Утверждение общей теоремы Кантора о мощности множества всех подмножеств произвольного множества М сводится к утверждению о невозможности 1-1-соответствия между элементами множества М и его подмножествами. Эту невозможность и доказывает теорема Кантора.
У множества с М элементами будет 2М подмножеств; ясно, что 2М > М, и одного этого уже достаточно; биекция невозможна, и никакое другое доказательство не требуется. Необходимость в таком доказательстве появляется лишь в том случае, если предварительно принять стандартный Постулат Кантора, что 2М = М. Вот, если сначала предположить такую «равномощность», то можно доказать, что это предположение неверно. Принцип доказательства (возникновения противоречия) разобран и иллюстрирован на малом примере в документе F002 на стр.10–13 (там, кстати содержится и опровержение упоминаемого Вами решетняковского файла yyy).
Множество 2М строится из множества М (по самому определению «множества всех подмножеств»); здесь всегда зависимая генерация, и всегда будет 2М > М. Вопрос, однако состоит в том, которое из этих множеств «счетно» (т.е. имеет биекцию с множеством натуральных чисел N). Кантористы считают, что такую биекцию имеет множество М. Но это есть просто их постулат. На самом деле, как я уже говорил выше, мы можем синхронизировать процессы генерации и так, что биекцию с N будет иметь множество 2М. Это будет альтернативный постулат.
С уважением, Валдис Эгле

Popov-2018-01-27


от: Попов Н.А. <popov_na@list.ru>
Кому: "egle.valdis@gmail.com" <egle.valdis@gmail.com>
дата: 27 января 2018 г., 19:53
тема: теория множеств
отправлено через: list.ru


27.01.2018
Уважаемый Валдис Эгле,
по совету С.С. Кутателадзе я ознакомился с некоторыми записками, подаными в комиссию Л.Д. Фаддеева, в том числе с Вашим файлом от 15.09.2017 [F001] о доказательстве теоремы Кантора, приводимом Ю.Г. Решетняком. Вы пишете:
«Постулат Кантора заключается в том, что все бесконечности (обозванные кантористами «счетными») объявляются «равномощными».»
Прежде всего, замечу, что Вы, очевидно, ошиблись в употреблении круглых скобок. По-видимому, Вы хотели сказать следующее:
«Постулат Кантора заключается в том, что все бесконечности, обозванные кантористами «счетными», объявляются «равномощными».»
Иначе получается, что кантористы все вообще бесконечности обозвали счетными и объявили равномощными. Но и с учетом этой поправки сразу же возникает вопрос к Вам: а как Вы понимаете равномощность множеств? Какие множества Вы считаете равномощными? От этого Оочень сильно зависит смысл Вашей фразы. Понятие равномощности, а значит и определение равномощности (я уже не говорю о понятии мощности множества) лежит в самых основах канторовской теории множеств. Или Вы хотите обойтись без этого понятия? Тогда это будет другая теория множеств. А без канторовской, по-видимому, можно и обойтись. Не спорю. Вам и карты в руки.
Но если Вы критикуете канторовскую теорию множеств, то не надо ее искажать. Ни в какой литературе по этой теории я не встречал сформулированный Вами «постулат Кантора». Нет никакого «постулата Кантора» в его теории множеств, а есть только определение равномощности (через понятие взаимно однозначного соответствия), из которого вытекает нарушение принципа (аксиомы) «часть меньше целого». Об этом уже Галилей знал, и даже, как свидетельствует А. Реньи в «Трилогии о математике», об этом знал еще Зенон Элейский (V век до н.э.).
То же самое о придуманном Вами (?) постулате Кантора пишет проф. Ю.Г. Решетняк в своем файле «О мифическом постулате Кантора» от 30.09.2017 [yyy]  (6-й по списку list1).
Я тоже, как и Вы, уже много лет занимаюсь канторовской теорией множеств и знаком с кое-какой литературой по этой теории. У меня нет почти никаких претензий к самому Кантору, кроме одной: широко известный, им же открытый, парадокс Кантора он разрешить не сумел. Но гораздо более серьезные претензии у меня к официально принятой и преподаваемой в ВУЗах аксиоматической теории множеств ZFC (Цермело-Френкеля).
Парадоксы теории множеств в учебных курсах этой теории даже не упоминаются. Но не это главное. Моя основная претензия состоит в том, что приводимое во многих, хотя и не во всех, учебниках доказательство теоремы Кантора ошибочно.
Уточним терминологию.
Есть общая теорема Кантора, которая гласит:
Для любого множества М мощность множества всех его подмножеств U(M) больше мощности исходного множества М.
Кроме того, есть теорема о несчетности континуума, тоже принадлежащая Кантору, которая утверждает, что множество всех действительных чисел промежутка от 0 до 1 несчетно, то есть не может быть пронумеровано так, чтобы каждое действительное число получило номер, и разные действительные числа получили разные номера.
Будем говорить об общей теореме Кантора. Во-первых, потому, что она проще доказывается. А во-вторых, потому, что теорема о несчетности есть частный случай общей теоремы Кантора. В самом деле. Действительное число можно записать в двоичной системе счисления в виде бесконечной цепочки его разрядов, в которых стоят нули и единицы. А номера тех разрядов после запятой, где стоят единицы, – это часть (подмножество) натурального ряда. И обратно, если задаться любой частью натурального ряда, то, расставив единицы в разряды под выбранными номерами после запятой, получим действительное число между 0 и 1. Указанное соответствие между действительными числами промежутка от 0 до 1 и частями натурального ряда легко сделать взаимно однозначным, убрав конечные подмножества натурального ряда и соответствующую им конечную форму записи двоично-рациональных действительных чисел. Применяя общую теорему Кантора к натуральному ряду, приходим к выводу, что множество действительных чисел промежутка от 0 до 1 имеет мощность больше, чем множество натуральных чисел, то есть несчетно.

Общепринятое доказательство общей теоремы Кантора.

Утверждение общей теоремы Кантора о мощности множества всех подмножеств произвольного множества М сводится к утверждению о невозможности 1-1-соответствия между элементами множества М и его подмножествами. Эту невозможность и доказывает теорема Кантора.
Как это можно доказать?
Как вообще можно доказать невозможность что-то сделать? Конечно, методом от противного. Именно таково общепринятое стандартное доказательство теоремы Кантора. Значит, надо предположить, что такое соответствие установлено, и проследить за рассуждениями, доказывающими его невозможность. Вот эти рассуждения, широко известные, приводимые во многих учебниках.
Пусть всем частям множества М как-то (но однозначно!) сопоставлены его элементы. Через F(x) обозначим ту его часть, которой сопоставлен элемент х.
Тогда для каждого элемента х можно установить, входит ли он в соответствующую ему часть F(x). Элементы х, не входящие в F(x), назовем внешними прообразами.
Теперь рассмотрим множество внешних прообразов K. Будучи частью множества M, по нашему допущению оно имеет какой-то прообраз k. Спросим себя, является ли он внешним прообразом? Для ответа на этот вопрос нужно знать, входит ли k в K. А для этого нужно знать, является ли он внешним прообразом. Порочный круг замкнулся. Иными словами, согласно определению множества внешних прообразов k входит в K тогда и только тогда, когда k в K не входит. Противоречие получается, как только мы допустим, что у множества K есть прообраз. Значит, прообраза у множества K не может быть. Значит, 1-1-соответствие между частями множества M и его элементами получилась не полным. А поскольку мы рассматривали произвольное соответствие, то любое такое соответствие будет не полным. Полное 1-1-соответсивие между всеми частями множества M и его элементами невозможно. Теорема доказана.
Но позвольте заметить, скажет проницательный читатель. Присвоение прообраза (чему угодно) есть действие произвольное. Ничто не мешает присвоить множеству K какой-то прообраз. На остальные части множества М прообразов тоже хватит. Да и не важно, будем ли мы снабжать их прообразами. Противоречие уже появилось, как только мы присвоили прообраз множеству K. И что же оно доказывает?
Выходит, что противоречие, которое мы получили, рассматривая множество внешних прообразов, с возможностью или невозможностью 1-1-соответствия между подмножествами множества M и его элементами не связано. Оно появляется независимо от полноты этого соответствия. Оно появляется, как только мы пытаемся приписать какой-то прообраз множеству K – множеству внешних прообразов. Этот факт свидетельствует о противоречивости определения множества внешних прообразов по отношению к собственному прообразу. Это видно даже из смысла определения множества K: всякое множество содержит в себе все свои элементы, а внешние прообразы – это прообразы, в каких-то других множествах не содержащиеся. Если это другое множество и есть K, то и возникает противоречие.
К сказанному добавлю, что ошибочность доказательства не означает ошибочности теоремы. В некоторых учебниках приводится правильное доказательство. А кроме того, существуют разные правильные доказательства общей теоремы Кантора.
С уважением Попов Н.А.

2018-01-02

Egle-2018-01-02



Заслуженный участник форума Dxdy arseniiv писал 2017-12-31, 14:10

«Вон Пуанкаре долгое время приписывали там и сям цитату о болезни, от которой математика излечится…»

При этом он ссылается на статью Jeremy Gray «Did Poincaré Say "Set Theory Is a Disease"?» (1991): https://link.springer.com/article/10.1007%2FBF03024067.
Поскольку Пуанкаре все признают великим математиком, то теперь сторонники Кантора пытаются отрицать, что он находился в оппозиции к канторизму.
Морис Клайн писал («Математика. Утрата определенности», Москва, «Мир», 1984, с.236):
 «Анри Пуанкаре называл теорию множеств тяжелой болезнью и считал ее своего рода математической патологией. “Грядущие поколения, – заявил он в 1908 г., – будут рассматривать теорию множеств как болезнь, от которой они излечились».
Вот именно эту цитату из Клайна и оспаривает Грей в тех двух страницах статьи, которые доступны бесплатно.
Анри Пуанкаре писал («Наука и метод», 1908, глава II «Будущее математики», раздел «Канторизм»):
 «Выше я говорил о представляющейся нам необходимости постоянно восходить к основным принципам нашей науки и о той пользе, которую отсюда может извлечь наука о человеческом духе. Эта потребность породила два стремления, занявшие весьма обширное место на самых последних страницах истории математики. Первое из них – канторизм, заслуги которого перед наукой известны. Одна из характерных черт канторизма состоит в том, что вместо того, чтобы подниматься к общему, строя всё более и более сложные конструкции, и вводить определения через построения, он исходит из genus supremum [высший род] и дает определения только per genus proximum et differentiam specificam [через родовое сходство и видовое отличие], как сказали бы схоластики. Этим объясняется тот ужас, который он некоторое время тому назад вызвал в иных умах, например у Эрмита, излюбленной идеей которого является сравнение математических наук с естественными. У большинства из нас эти предубеждения уже рассеялись, но случилось так, что натолкнулись на некоторые парадоксы, которые привели бы в восторг Зенона Элейского и мегарскую школу. И тогда все пустились в поиски за противоядием. Я держусь того мнения – и не я один, – что важно вводить в рассмотрение исключительно такие вещи, которые можно вполне определить при помощи конечного количества слов. Но какое бы противоядие ни было признано действительным, мы можем предвкушать наслаждение врача, имеющего возможность наблюдать интересный патологический случай». https://yadi.sk/d/Tths0LOw3Q4tuu, стр. 397–398.
Здесь как раз канторизм и назван «патологическим случаем». Слов про «будущие поколения» здесь нет (и нет их во всей книге «О науке», М., 1990).
Однако отрицательное отношение Пуанкаре к канторизму выражено достаточно ясно. Обоснование, которое он дает, слишком обширно, чтобы его здесь цитировать (но логично).
В другом месте (в книге «Последние мысли», глава V «Математика и логика») Пуанкаре пишет:
«Я никогда не знал математика, большего реалиста в платоновском смысле, чем Эрмит, и, однако, я должен признаться, что я не встречал человека, более непокорного учению Кантора. В этом есть кажущееся противоречие, тем более, что он часто повторял: я антиканторианец, потому что я реалист». https://yadi.sk/d/Tths0LOw3Q4tuu, стр. 615.
Требование «вводить в рассмотрение исключительно такие вещи, которые можно вполне определить при помощи конечного количества слов», на современном языке будет означать: «...которые можно определить при помощи какого-нибудь алгоритма».
Пуанкаре в достаточно многих местах показывает, что он «в антиканторианстве» солидарен с Эрмитом (который был его учителем). Завершает он словами:
«Было отмечено много противоречий, и несогласие осталось; никто не был убежден» (там же, стр.616).

General

Общие сведения Конечная цель Комиссии: после тщательного изучения вопроса путем голосования среди членов Комиссии принять две резол...