Множества чисел по ВТ
§29. Классификация по количеству элементов
1997.11.12 19:53 среда
(через 2 дня, 1 час, 9 минут)
.201. Представим себе теперь, что какой-то (скажем,
первобытный) человек научился не только отличить зайца от волка, но и отличить
множество, в котором имеется один элемент, от множества, в котором имеются два
элемента, – отличить именно по этому признаку. Это означает, что теперь в его мозге
существует программа для различения таких объектов. Предположим также, что он
может отличить множество с двумя элементами от множества с большим количеством
элементов. Тогда он все множества может классифицировать в три группы или (что
то же самое) считать: «один, два, много» (обозначая этими словами
соответствующие таксоны своей классификации).
.202. Это типичный начальный этап на пути к математике.
До прихода европейцев в языках многих народов Австралии и Полинезии
существовали только два числительных: «один» и «два». Все современные люди в
раннем детстве тоже считают именно так.
.203. Развивая далее свои программы этого вида, люди начинают различать множества
с тремя, четырьмя и т.д. элементами, пока не сгенерируют себе программу,
способную различить ЛЮБОЕ количество элементов в множествах. Такая программа,
согласно принятой нами модели, определяет БЕСКОНЕЧНУЮ последовательность
таксонов. При реальном выполнении такой программы, она каждое данное ей
множество поместит в тот или иной таксон, в зависимости от количества элементов
в множестве.
.204. Конечно, на самом деле эта программа (будучи отданной интерпретатору из
пункта {.165}), работает с (относительно) небольшими множествами (ну, насколько далеко
каждый из нас реально считал?). Но ничто не мешает анализатору (из того же
самого пункта {.165}) ВООБРАЗИТЬ эту программу отработавшей «до конца»
и все (бесконечно многие) таксоны построенными. Анализатор просто строит образ
этого бесконечного ряда так же, как в пункте {.169} он строил картины, в которых майор
Дервота прикладывает пистолет к виску, стреляет, падает, лежит... – хотя на самом деле
ничего похожего не происходило.
.205. Тем самым в мозге построена номиналия, соответствующая «множеству всех
таксонов классификации множеств», и этим (теперь уже бесконечным) множеством
можно начинать дальше оперировать.
.206. Поскольку люди пришли к такому представлению уже в античное время, а о
компьютерах и их программах они понятия тогда не имели (и тем более не было
мысли, что и человеческий мозг мог бы быть компьютером), то объяснить всё это
дело так, как мы это только что сделали, они не могли, и представляли себе, что
найденный ими бесконечный ряд состоит из каких-то (довольно таинственных) объектов
– иногда
их представляли себе как точки, иногда иначе –, называемых «числами» (в наши дни, когда
известны и другие числа, этих называли бы «натуральными числами»).
.207. Мы в своей модели всё же откажемся от соблазна этого ряда и введем для себя
понятие числа иначе.
.208. Но, прежде чем это сделать, зафиксируем результаты этого своего
рассуждения. Программу, которая была описана в этом параграфе и которая
классифицирует все множества по количеству элементов в них, назовем N1 (это обозначение не следует читать как «номер 1», а образовано оно из слов
«натуральные» и «первичные»).
.209. Эта программа определяет (или потенциально может построить) бесконечную
последовательность таксонов классификации, которую назовем квантолиной.
Один отдельный таксон назовем изоквантой (в каждую изокванту в процессе
классификации, если программу действительно выполнили бы, попали бы множества с
одинаковым количеством элементов: у нас будет «изокванта 1», «изокванта 2» и
т.д.)[1].
§30. Измерение множеств
.210. Чтобы ввести в нашей модели числа, мы возьмем не программу N1, классифицирующую
множества, а другую, несколько более сложную программу, – которая
классифицирует ПАРЫ множеств (конечно же, речь идет о мозговых программах).
.211. Например, дана одна пара двух множеств: одно состоит из 1 элемента, другое
– тоже из одного элемента. Далее дана вторая пара двух множеств: одно состоит
из 100 элементов, другая – тоже из ста. Все такие пары, где оба множества
одинаковы, наша программа поместит в один таксон классификации, который назовем
«числом один» и присвоим ему графическое обозначение: «1».
.212. Далее, предположим, что дана пара множеств, где в первом множестве 1
элемент, а во втором 2 элемента. И вторая пара, где в первом множестве 33
элемента, а во втором – 66. Все такие пары, где второе множество ровно в два
раза больше первого, поместим в особый таксон, который назовем «числом два» и
присвоим ему графическое обозначение «2».
.213. Читателю уже стало ясно, как наша программа определит все остальные
натуральные числа. В нашей модели натуральные числа – это те таксоны
классификации пар множеств, в которые входят пары, у которых первое множество
(назовем ее Единицей) входит во второе множество (назовем его Измеряемым)
точно (без остатка) определенное число раз.
.214. Не надо думать, что наша программа уже использовала понятие числа. Это
понятие использовал только Я, чтобы программу описать. Сама программа о числах
ничего не знает: она только «слепо» переходит в обоих множествах от одного
элемента к другому и каждый раз, когда все элементы Единицы исчерпаны,
проверяет, остались ли в Измеряемом еще элементы, и, если да, то перескакивает
на следующий таксон классификации. Это она умеет – как будто насекомое
перебирает ножками –, но о числах она понятия не имеет.
.215. Зато у нас такое понятие теперь есть: натуральными числами являются те
таксоны, где Измеряемое множество можно измерить Единицей без всяких частей и
остатков.
.216. И автоматически – без всякого ввода арифметических действий! – у нас
появляются все дробные числа (те, что в математике называются «положительными
рациональными дробями»). Это те случаи, когда Измеряемое множество нельзя
измерить Единицей целыми кусками – без частей.
.217. Например, пара, где в первом множестве 15 элементов, а во втором 20, – и пара, где в первом
множестве 18510 элементов, а во втором 24680 – обе эти пары попадут в один таксон, который
назовем «числом один и одна треть» с графическим обозначением «4/3».
.218. Эту программу классификации пар множеств (т.е. отношений множеств) назовем R1 (от «рациональные» и «первичные»).
.219. Конечно, опять наша программа реально (в интерпретаторе) будет работать с
немногими и небольшими числами, но снова для анализатора никакая не проблема
построить образ результата отработавшей «до конца» программы, образ, с которым
мы дальше можем оперировать как с «положительными рациональными числами», если
говорить в традиционной терминологии. Но эту традиционную терминологию мы
теперь начнем уже отбрасывать, и назовем полученное нами множество чисел
«метрическими числами» (от слова «мерить» – ибо главный момент в нашей программе
заключался в измерении Измеряемого множества множеством Единицы).
.220. Программа R1 определяет бесконечное множество таксонов, причем бесконечное как бы в
двух направлениях: таксонов целых чисел бесконечно много, и между каждыми двумя
целыми числами снова бесконечно много таксонов дробных чисел.
.221. Назовем один таксон полученной классификации Пропорцией, а
бесконечное множество всех пропорций – Пропорквантой.
.222. Итак, в нашей модели Пропорции и есть метрические числа. Они (в некоторой
степени) соответствуют положительным рациональным числам и нулю (ибо, хотя мы
выше это специально не упомянули, но обе наши программы N1
и R1 могли классифицировать также и пустые
множества). Я выразился «в некоторой степени соответствуют», так как на самом
деле существует различие между нашими метрическими числами и традиционными
положительными, что мы вскоре рассмотрим {.234}.
§31. Линейная ориентация
.223. Теперь возьмем программу R1, скопируем ее и, сохраняя нетронутым оригинал,
смодифицируем копию таким образом, что введем еще один дополнительный критерий
в алгоритм центрального блока этой программы: в том месте, где проверяется,
принадлежат ли пары множеств той или иной Пропорции.
.224. Эту модифицированную программу назовем RL1 (от «рациональные» и
«линейно»), а новый критерий будет следующим. Допустим, что человек (в
результате выработки программы RL1 в его мозге) становится способным различать
отношения Измеряемого и Единицы не только по величине (по количеству
элементов), но и их отношения по ориентации в направлении «туда и назад».
.225. Самый простой (и, видимо, исторически первый) пример линейно
ориентированных множеств, это: «я даю» – «мне дают». В наши дни можно найти очень
много примеров линейной ориентации множеств: столбик термометра падает или
поднимается, стрелки на бумаге в одном направлении или в противоположном и т.д.
.226. Итак, новое дополнение (которое мы ввели в программу RL1 по сравнению с R1) проверяет, одинаково ли ориентированы
Измеряемое и Единица, или противоположно. И, в зависимости от этого критерия,
каждая прежняя Пропорция разделяется на два таксона, которые мы назовем линпропорциями
(а множество всех линпропорций назовем линпропорквантой).
.227. Если Измеряемое и Единица одинаково ориентированы, то линпропорцию назовем
положительной, а если ориентированы противоположно, то – отрицательной. Теперь мы получили
положительные и отрицательные числа. Применим для их обозначения обычные и всем
известные обозначения «+» и «–», а сами числа назовем «линейно ориентированными»
или просто «линейными» числами.
.228. Например, на рисунке {.229} изображенные стрелками пары множеств,
классифицированные программой RL1, все попали бы в тот таксон, который мы обозначаем
как «+3», так как у всех их Измеряемое множество ориентировано так же, как и
Единица, а по величине в три раза больше Единицы.
.229.
.230. А все изображенные на рисунке {.231} пары множеств, напротив, попали бы в
таксон «–3», так как Измеряемое множество в три раза больше Единицы, но обращено в
противоположную сторону.
.231.
.232. Однако, если мы эти пары множеств классифицировали бы программой R1 (не обращая
внимания на ориентацию и глядя только на величину), то и та и другая группа пар
попала бы в таксон «3» (который и не положительный, и не отрицательный).
.233. Если мы действуем так, что сначала классифицируем
пары при помощи программы R1 (и получаем таксон «3»), а потом существующие уже в
нем пары классифицируем программой RL1, то получаем два подмножества множества
«3»: «+3» и «–3». Будем считать, что именно так мы всегда и действуем, и в нашей модели
каждое метрическое число (которое само является множеством!) имеет два
подмножества по линейной ориентации: положительное и отрицательное.
.234. Здесь мы и видим упомянутое в пункте {.222} различие между метрическими числами и
«положительными рациональными числами» традиционной математики. В отличие от
традиционной математики, у нас число «3» и число «+3» – это два разных объекта.
.235. В традиционной модели число «3» (или «+3», что у них одно и то же) является
модулем, т.е. абсолютным значением числа «–3». Тем самым ситуация не симметрична:
положительные числа находятся как будто в «привилегированном положении», так
как отрицательное число НЕ является модулем положительного. У нас же, напротив,
ситуация симметрична: число «3» является модулем или «абсолютным значением» как
для отрицательного числа «–3», так и для положительного «+3», и слова «абсолютное значение» означают,
что не принимается во внимание ориентация «туда или назад».
§32. Планарная ориентация
.236. Теперь предположим, что человек научился различать не только ориентацию
«туда–назад», а также ориентацию на плоскости. Удобнее всего ориентированные на
плоскости множества изображать как стрелочки на бумаге. Всё же в менее наглядном,
но зато практически более пригодном виде ориентированные на плоскости множества
наблюдаются везде, где происходит ротация, т.е. вращение вокруг оси.
.237. Все изображенные на рисунке {.238} стрелками пары множеств похожи тем, что
Измеряемое множество в них в три раза больше Единицы и повернуто относительно
Единицы в направлении часовой стрелки на угол φ.
.238.
.239. Введем теперь в программе R1 (в ее копии, названной RP1 – от «рациональные»
и «планарные») блок, который определяет, одинаково ли ориентированы на
плоскости Измеряемое и Единица в отношении друг друга. Далее поступим так же,
как в пункте {.233}: сначала склассифицируем пары множеств пункта {.238} при помощи программы R1 (все пары попадают
в таксон «3»), а потом программой RP1.
.240. Теперь число «3» у нас распадается на бесконечно многие подмножества
(планарные числа), в зависимости от угла поворота φ. Число «3» для всех их является модулем,
т.е. абсолютным значением, а сами числа в обозначениях традиционной математики
будут комплексными числами 3(cos φ + i sin φ).
.241. Итак, каждая Пропорция, если учитывать планарную ориентацию, разделяется на
бесконечно много таксонов (которые назовем планпропорциями, а множество
их всех – планпропорквантой).
.242. Планпропоркванта или планарные числа в основном соответствуют традиционным
комплексным числам (без их иррациональных компонентов).
§33. Иррациональные числа
1997.11.13 17:40 четверг
(через 21 час, 47 минут)
.243. Иррациональные числа мы ниже еще рассмотрим очень основательно (намного
основательнее, чем остальные), поэтому здесь, чтобы построение числовых
множеств было закончено и можно было сделать различные общие выводы, скажем
только вкратце сущность дела.
.244. Иррациональные числа в нашей модели, также как рациональные, определены как
пропорции между множествами, т.е. как таксоны классификации отношений (пар)
множеств по количеству элементов. Но только это таксоны для таких пропорций,
которые фактически не существуют. Таксон существует, а реальных объектов,
которые можно было бы в этот таксон положить в ходе классификации – нет. (Ср. с
«множеством всех русалок» в пункте {.190}).
.245. Поэтому мы будем называть их также псевдотаксонами. Откуда
псевдотаксоны берутся, это разберем немного позже. А теперь будем считать, что
псевдотаксоны генерирует (или определяет) некоторая группа программ, которую
обозначим идентификатором Ig1
(от «иррациональные»,
«группа» и «первичные»).
§34. Множества чисел
.246. Теперь посмотрим, что у нас получилось. Основываясь на введенное выше
представление об абстрактных множествах как потенциальных продуктах разных
алгоритмов различения объектов {.186}, мы постепенно ввели одну программу N1 для классификации
множеств по количеству элементов и три программы для классификации взаимных
отношений множеств:
.247. – программу R1, классифицирующую пары
множеств, учитывая только количество элементов в них;
.248. – программу RL1, классифицирующую пары
множеств, учитывая количество элементов в них плюс их линейную ориентацию
«туда–назад»;
.249. – программу RP1, классифицирующую пары
множеств, учитывая количество элементов в них плюс их взаимную ориентацию на
плоскости.
.250. Наконец, мы еще имеем группу программ Ig1 для классификации несуществующих
отношений между множествами.
.251. Все эти программы люди выработали в своем мозгу, и их выработка означала,
что они постепенно научились различать всё новые вещи: 1) вначале просто
количество элементов в множествах; 2) потом отношения множеств по количеству
элементов, т.е. пропорции; 3) потом ориентацию множеств в направлении «туда–назад»;
4) потом ориентацию множеств на плоскости; 5) и, наконец, фактически
несуществующие, но только воображаемые отношения множеств.
.252. Первые три из этих вещей были освоены, прямо работая с различными реальными
множествами, а последние две – окольным путем, действуя уже чисто «в поле
математики» и не очень осознавая связь того, что они делают, с планарно
ориентированными и невозможными множествами.
.253. Отрицательные числа ранее всего начали использовать в Индии, и понимали их
как долг, значит, эта мысль появилась, наблюдая множества денег и других благ,
которые направлялись «ко мне и от меня», а не по абстрактным математическим
соображениям. Комплексные и иррациональные числа, конечно, исторически были
введены по математическим соображениям без прямого наблюдения множеств. Всё же
мы в своей модели все числа ввели по единому принципу – по тому принципу, с
которого математика началась, когда люди научились отличать множества с двумя
элементами от множеств с тремя элементами.
.254. При помощи
программ R1, RL1, RP1 и Ig1 мы построили (определили) целый ряд (бесконечных)
абстрактных множеств, которые идентифицировали как все известные математике
числа в рамках системы комплексных чисел. Кватернионы и другие дальнейшие
образования здесь не будем рассматривать: комплексные числа являются самой
элегантной и самой полной системой чисел, единственной, в которой все
математические операции всегда выполнимы так, что результат представляет собой
снова комплексное число, поэтому мы удовлетворимся, доведя в своей модели
понятие числа до этой «самой лучшей» системы.
.255. Мы построили (определили) эти множества, руководствуясь не какими-то
специфическими для математики соображениями, а исходя из тех же принципов, по
которым прежде классифицировали зайцев и волков, – только критерии, которыми
пользовались наши программы, были другие: они не смотрели, имеет ли объект
длинные уши, а смотрел, как много элементов имеется в множествах и как они
ориентированы.
.256. Мы построили (определили) эти множества, не вводя ни одной арифметической
операции, а исходя из одного единственного принципа: классификации множеств по
тому или иному признаку. Более того: отказавшись от услуг программы N1 {.207}, мы все числа
(включая натуральные, отрицательные, комплексные и иррациональные) ввели как
таксоны классификации пар множеств – как таксоны классификации ОТНОШЕНИЙ между
множествами.
.257. Назовем введенные нами числа ПАРИТАРНЫМИ числами (от латинского «paritāre» – готовить, «pariter» – вместе, и по ассоциации с латышским «pāris»[2]).
§35. Введение чисел в математике
.258. Для сравнения посмотрим, как системы чисел вводятся в традиционной
математике (в учебниках). Там сначала вводится множество натуральных чисел и
ноль (Кантор: «Натуральное число – это то общее, что имеется у множеств с
одинаковым количеством элементов» – это в принципе соответствует нашей
программе N1, только высказано менее точно).
.259. Потом вводятся арифметические операции: сложение и вычитание. Вычитание не
всегда выполнимо в натуральных числах (например: 6 – 8), поэтому вводят
отрицательные числа и получают множество целых чисел.
.260. Потом вводят умножение и деление. Деление в целых числах не всегда можно
выполнить (например: 4 / 3), поэтому вводят дробные числа (положительные и
отрицательные) и получают множество рациональных чисел.
.261. Потом вводят возведение в степень и извлечение корня. Корень не всегда
можно извлечь в рациональных числах (например, квадратный корень из 2), поэтому
вводят иррациональные числа и получают множество вещественных чисел.
.262. Но корень из отрицательного числа всё равно нельзя извлечь (например,
квадратный корень из –1), поэтому вводят мнимые числа и получают
комплексные числа. Ну, наконец-то всё в порядке, и все операции можно
выполнить.
.263. Конечно, может быть, это дело вкуса и привычки, но мне этот путь
представляется менее элегантным, чем наш. Здесь всё основывается на одних
сплошных неудачах: и то нельзя сделать, и это нельзя сделать, и ПОЭТОМУ
приходится вводить всё новые и новые числа.
.264. И не говоря уже о том, что сразу после натуральных чисел исчезает всякая
связь с внешним миром, математика превращается в «науку в себе», которая будто
бы занимается преобразованием цифр (обозначений чисел), и никто уже не в
состоянии объяснить, почему такое преобразование цифр может быть полезно для
людей. В нашей модели, напротив, всё время остается обозримым путь от реальных
объектов к математическим абстракциям.[3]
§36. Картины соотношений чисел
.265. Однако в своей модели мы получили совсем другие взаимные отношения между
множествами чисел и между отдельными числами, чем в традиционной математике.
.266. Множества чисел, введенные традиционной математикой, одно к другому
относятся как подмножества:
.267.
.268. Соотношения между отдельными числами в традиционной математике:
.269. 1)
числа 3,
–3, 3(cos φ) + i sin φ) существуют
рядом и не являются подмножествами друг друга;
.270. 2)
однако число 3 особое, так
как является модулем остальных двух;
.271. 3)
числа 3,
+3 и 3(cos
0 + i sin 0) являются одним и тем же
числом.
.272. В нашей модели, напротив, каждое следующее множество шире, но оно не
является надмножеством предыдущего, за исключением натуральных, которые
являются подмножеством метрических чисел:
.273.
.274. Зато сами числа являются подмножествами друг друга, а модулем линейных и
планарных чисел является то метрическое число, подмножествами которого они
являются.
.275.
.276. Традиционная классификация чисел:
.277.
.278. Классификация чисел в нашей модели:
.279.
.280. Классификация одного числа:
.281.
§37. Исправлять ли математику?
.282. Несмотря на эти различия в представлениях о взаимных отношениях числовых
множеств и отдельных чисел, подавляющее большинство математических фактов,
конечно, сохранятся и в нашей модели.
.283. Если в свое время, при построении здания современной математики, люди
руководствовались бы нашей моделью, выше описанными представлениями о природе
чисел и их взаимных отношениях, то, конечно, математическая символика выглядела
бы несколько иначе (например, различали бы числа «3» и «+3»). Но в наши дни, в той реальной ситуации,
которая теперь сложилась, изменять традиционное изображение математических
текстов (и способ изложения) нет необходимости, так как это только создало бы
путаницу, учитывая, что существует огромная по объему математическая литература.
.284. Однако СОЗНАВАТЬ, что, исходя из намного более широких, не специфически
математических соображений, естественнее было бы числовые системы строить
иначе, – это сознавать необходимо.
.285. И, учитывая, насколько фундаментальную роль в математике играет понятие
числа, введение нашей модели не должно было бы оставаться безразличным
математике как науке.
.286. Систему чисел теперешней традиционной математики в основном создал Карл
Гаусс своей вышедшей в 1801 году книгой «Disquisitiones Arithmeticae» – «Арифметические
исследования» (закончили Кантор, Вейерштрасс и Дедекинд теорией иррациональных
чисел).
.287. Значит уже первый шаг, что мы после ввода своей новой модели человеческого
мышления сделали по направлению к математике, сразу привел к существенной
коррекции взглядов этих выдающихся мыслителей и ученых прошлого.
[1] Реальные отзывы читателей показывают, что
этот разбор всё же часто остается не совсем понятым. Говорится о якобы
существующей здесь тавтологии: будто уже здесь используется понятие числа и
т.д. Будто всё это просто соответствует нашему «интуитивному» понятию о числах,
будто здесь нет ничего нового… Поэтому я особо подчеркиваю, что, согласно
предложенной концепции, числа НЕ являются понятиями элементарными;
числа (и далее другие основные понятия математики) имеют длинную «предысторию»,
они естественным образом вытекают из
свойств и особенностей мозгового аппарата самопрограммирования. Этот
аппарат, насколько он был выше описан, не
использовал понятие числа, а использовал способность программы отличить
двухэлементное множество от трехэлементного множества (и тому подобно), что НЕ является тем же счетом. Для того,
чтобы отличить множество одной мощности от множества другой мощности, программе
достаточно уметь проверять, существует ли в каждом из множеств очередной
элемент, и уметь констатировать, что в одном из множеств элементы кончаются
раньше. Чтобы выполнить такие действия, у программы (и у субъекта, несущего эту
программу) может не быть никакого понятия о том, что такое числа. Это умение
проверять и констатировать первично, а понятие числа – вторично; оно именно и
образуется как обобщение и результат упомянутого первичного умения. Далее,
фундаментальным является вывод, что числа (и вслед за ними другие основные
понятия математики) есть результат работы мозгового аппарата
самопрограммирования. Это будет означать, что действительную
природу и настоящие свойства чисел (и далее других основных понятий математики)
можно узнать только обращаясь к аппарату мозгового самопрограммирования и
изучая его свойства. Хорошо, если результат такого познания совпадет с мнением
традиционной математики (как это в большинстве случаев и имеет место). А если
все-таки не совпадет, то из этого фундаментального вывода будет вытекать, что
мнение традиционной математики не верно,
а верно то мнение, которое вытекает из исследования аппарата мозгового
самопрограммирования.
[2] МОИ: ...и с русским «пара». Конечно, в основе
названия лежит латинское «pār» со всей гаммой
значений этого слова и этого корня. Но В.Э. умышленно не хотел вводить название
в форме «паритерные числа» (что было бы наиболее естественным производным от «pār» и далее от «pariter» – «одинаковые»). Он предпочитал форму
«паритарные», созвучную со словом «унитарный» – и противоположную ему;
латинское слово «uniter»
(единый) тоже должно было бы породить слово «унитерный», а не «унитарный»,
однако слово существует во всех европейских языках во второй форме (искаженной
французским языком). То же самое, решил В.Э., пусть будет и со словом
«паритарный», для «обоснования» которого пришлось привлечь латинский глагол «paritāre» (готовить, приготовить) с такой
ассоциацией, что числа «изготовляются программами».
[3] После опубликования этого сочинения в
сборнике избранного LASE1 я получил ряд отзывов, среди которых самым ценным был
отзыв преподавателя Физико-математического и одновременно Теологического
факультетов Dr.habil.phys. Юриса Тамберга, подготовленный им вместе с Dr.habil.phys. М. Балодисом и Dr.phys. Т. Крастой. Рецензию господина Тамберга
(и мой ответ на нее) см. в файле {VISUS.1459} [русский перевод в этом томе
ниже – МОИ]; продолжение дискуссии с ним помещено в файле {VITA1.227}.
Отзыв академика философа Майи Куле см. {VITA2.1019}, отзыв ректора,
теперь уже покойного, философа Петериса Лакиса в {VITA2.991}, рецензию философа
Вилниса Зариньша – в файле {IDOM-1}, §27, стр.101.
Комментариев нет:
Отправить комментарий