Irrational

от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

Кому: <kadissov.e@gmail.com>, <makarovmv2000@yandex.ru>

дата: 18 мар. 2019 г., 17:32

тема: Об иррациональных числах

отправлено через: gmail.com

В письмах Innumerum среди прочего был затронут вопрос об иррациональных числах. Я писал к Е.М. (11 марта 2019 г., 12:31):

Ваше новое понятие «несчетно по Кадисову» = «переосмысленно несчетно» = «ненуме­руемо» подразумевает, что множество иррациональных чисел (I) счетно[1], но его нельзя перенумеровать (потому что оно «плохо организовано для счета»). Множество I нельзя не только перенумеровать, но его нельзя и построить отдельным каким-то алгоритмом. Как Вы будете его строить? Чтобы получить это множество, Вы должны сначала построить множество R вещест­венных чисел, потом множество Q рациональных чисел, потом отобрать из R все Q и тогда уже то, что останется, будет множество I. И теперь задумайтесь, как Вы будете строить в виде десятичных дробей, например, отрезок [0, 1] из R и как из Q (оказывается, что алгоритмы-то одинаковые). Подумайте, что будет, когда актуальная бесконечность не введена (иррациональ­ных чисел вообще нет, есть только рациональные приближения к ним) и когда она введена (иррациональные числа есть рациональные, но с актуально бесконечным количеством цифр за запятой).

Е.М. отвечал (11 марта 2019 г., 14:59):

Да, если не принять актуальную бесконечность, то, кажется, нет обоснования их [иррациональных чисел] существованию. Но куда деть несоизмеримость этих чисел, которая была обнаружена ещё в древности.

А между тем до конца разобраться в вопросе существования–несуществования иррациональных чисел можно только на основе того самого Постулата процессов, о котором я специально говорил в письме Postulat1. Е.М. спрашивает: «Но куда деть несоизмеримость этих чисел...» А никуда ее не надо девать! Надо просто осознать, что эта «несоизмеримость» есть всего лишь тот факт, что алгоритмы генерации множеств, образно говоря, «проходят мимо» друг друга и «не пересекаются».

Очень наглядно Марина Ипатьева это показала Денису Клещёву в МОИ № 114 на стр. 75–80, где объясняется глубинная, алгоритмическая сущность числа √2 (см. особенно там Рис.6, как «трассы генерации» проходят мимо одна другой).

Вот эти алгоритмы, «проходящие мимо» друг друга (и ЭТИМ порождающие иррациональные числа) есть то, что существует объективно («в природе») – и они не зависят от того, приняли ли мы или не приняли актуальную бесконечность.

В более общем виде (и в чуточку другом ракурсе) об этом говорится в книге DEKIND на стр. 26 и ее окрестностях. Иррациональные числа – это продукты тех алгоритмов генерации, которые никогда (ни при каком конечном шаге) «не пересекутся» с алгоритмами генерации рациональных чисел. А трансцендентные числа – это продукты тех алгоритмов, которые никогда «не пересекутся» с алгоритмами генерации алгебраических чисел.

Образно говоря, алгоритмы генерации иррациональных чисел всегда проходят «между» рациональными числами (порождая тем самым «сечения» дедекиндовы), а алгоритмы генерации трансцендентных чисел всегда проходят «между» алгебраическими числами, не попадая ни на одно из них.

Всё дело в алгоритмах генерации и их взаимоотношениях. Алгоритмы первичны. А те множества чисел, в которые мы оформляем продукцию этих алгоритмов – это уже дело вторичное.

Я в свое время пытался это втолковать академику Решетняку, но он ответил (файл cauchy):

Я посмотрел стр. 75–80 № 114 мусоросборника МОИ и ничего поучительного там не обнаружил. Просто известное математическое доказательство переписано на другом языке.

Вот и всё, что этот академик-дурачок смог извлечь из объяснения ситуации при Постулате процессов.

Надеюсь, члены КИФ смогут извлечь больше и поймут, каким образом из «прохождения алгоритмов генерации мимо друг друга» возникает «иррациональность» и «трансцендентность» определенных чисел.

С уважением, В.Э.

---

[1] Счетно в традиционном понимании, где понятие «счетно» характеризует количество элементов.