Perspektivy

от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

Кому: <kadissov.e@gmail.com>, <makarovmv2000@yandex.ru>

дата: 26 февр. 2019 г., 17:18

тема: Перспективы

Здравствуйте, Евгений Михайлович!

Процитирую сначала два Ваших коротких письма, на которые сейчас отвечаю. 25 февраля 2019 г. в 18:22 Вы писали:

Здравствуйте, Валдис Валевич.

В основном, я согласен с Вашим ходом мысли. Но разве канторизм не основывается на том, что диагональная процедура якобы доказывает, что, есть такие множества, как, например, множество действительных чисел, в которых «слишком много» элементов? Если выбить из-под канторизма эту подпорку, что от него останется? Разве моего опровержения того, что диагональная процедура будто бы доказывает то, что от неё ожидают кантористы, не достаточно для этого? Прочтите, пожалуйста, ещё раз моё опровержение: http://eugen1937.ucoz.net/Hilbert_rus.html.

С уважением Евгений Кадисов.

И 26 февраля 2019 г. в 09:32:

Здравствуйте, Валдис Валевич.

Получается, что мы с Вами пытаемся убедить кантористов. Неважно, с помощью ли показа биекции множеств, показа несостоятельности диагонального доказательства или путём сравнения систем понятий. Всё равно, мы обращаемся к тем, кто не хочет ничего этого признавать.  Большинству математиков, не специалистов в теории множеств, эти споры, похоже, неинтересны. Более того, они считают, что спор должен решаться специалистами, следовательно, кантористами, так как специалисты в теории множеств, в большинстве, кантористы.

Я начинал с того, что пытался выступить на семинаре или публиковаться, но «специалисты в теории множеств» всё это пресекали. Одна моя бывшая коллега – математик, прочтя моё опровержение, назвала его «открытием», но отказалась даже (под)писать рецензию для журнала, сославшись на то, что она не специалист в теории множеств.

Какой Вы видите выход из этого тупика? Неужели надо оставить теорию множеств кантористам, чтобы они там резвились и кормились?

С уважением, Евгений Кадисов.

Позвольте напомнить, что я писал Вам 8 февраля 2019 г. в 15:24, когда Вы только что дали согласие стать членом КИФ:

Конечно, наше голосование ничего не изменит, но что делать? Каков может быть алгоритм действий в тех условиях, в которые я поставлен? В течение четырех десятилетий какие только пути и варианты не пробовались! Но всё тщетно: передо мной абсолютно непробиваемая стена не то, что тупости (тупости, конечно, тоже), но главным образом бессовестности, непорядочности и подлости. Нагло отрицаются все научные принципы, отрицается сама логика, изливается море демагогии (если им не удается вообще уклониться от реагирования). Ведь за 40 лет не было дано НИ ОДНОГО возражения по существу!

Ну, и как поступать в таких условиях? Один вариант – это всё бросить и то ли покончить с собой, то ли спиваться, то ли стать игроманом и т.п. Но такой вариант не для меня. Я буду бороться до последнего. Надо, во-первых, создавать всё более обширное, убедительное и неопровержимое изложение в Интернете (на сайте КИФ и в других местах). Надо разоблачать подлецов от науки и наказывать их (публичным высмеиванием и унижением). Надо не давать им покоя, дергать их и «выводить на чистую воду». Ну, и надо пытаться найти среди них всё-таки людей здравомыслящих и вовлекать их в это дело.

Для последней цели и была задумана КИФ. Если бы в ней приняли участие несколько математиков, докторов ф.-м. наук, то голосование было бы уже не совсем впустую.

Впрочем, не обязательно математиков. За эти десятилетия я всё больше и больше убеждаюсь, что так называемые «профессиональные математики» вообще не способны на логическое мышление. (Это какая-то прямо дегенеративная каста!). В свое время, лет 7 назад я одному своему корреспонденту это объяснял так. У дверей физмата поток абитуриентов распадается на два течения: те, кто ориентирован на реальную жизнь, здравомыслящие, идут в физики. А те, кого интересует не действительная реальность, а заумные спекуляции, – те идут в «чистые математики» и потом превращаются в тех монстров, с которыми мне 40 лет приходилось иметь дело.

Так что сущность математики (реальную сущность, а не выдуманную!) по-моему лучше могут понять как раз не-математики, то есть, ученые других специальностей, в первую очередь физики. Объяснение сущности математики должно быть дано математикам извне; они должны быть просто поставлены перед фактом. И КИФ в своем конечном варианте может состоять вовсе не из математиков.

 Теперь ответ на Ваш вопрос: «Какой Вы видите выход из этого тупика?»:

1. Выхода может и не быть; победа не гарантирована.

2. Несмотря на то, есть ли шансы на победу или нет их, я буду продолжать борьбу, и буду рад, если рядом будут люди, настроенные так же.

3. Один из приемов в этой борьбе – полное или почти полное документирование всего процесса. «Потомки должны знать, какие подлости вытворяли наши противники!». Первичное документирование – на сайте https://comfadde.blogspot.com/, но потом могут быть выпущены различные сборники, книги, журналы и т.д. (Хорошие, отредактированные тексты стоят наготове).

4. Не давать покоя нашим противникам – постоянно ставить их перед выбором: либо опозорить себя отрицанием очевидных вещей, либо признать истину. Позор надо делать максимально больным для них.

5. Я не собираюсь пробовать путь «официальных публикаций» (в «рецензируемых журналах» и т.п.), поскольку ни на йоту не верю, что такая публикация может осуществиться, но если кто-то хочет попробовать такой путь, то это поощряется. (Задокументируем весь процесс).

Вот пять основных пунктов.

Нужно понимать, что перед нами никакие не ученые (хотя они обвешались титулами докторов ф.-м. наук, профессоров и академиков). Перед нами стая мелких жуликов и мошенников. Это люди того же качества и того же образа мышления, какие сжигали Джордано Бруно, ставили на колени Галилео Галилея и издевались над Николаем Лобачевским.

Нам сильно мешает другая стая так называемых «альтернативщиков». Десятки таких «теорий» подавались для публикации в альманах МОИ; одна из них (Николая Сипко) была разобрана уже в первом номере Альманаха (МОИ № 1); потом было много еще и других подобных материалов. Несмотря на очевидную разницу как в качестве аргументации, так и в качестве технического оформления, наши противники пытаются причислить нас к этой стае и таким образом оправдать свое поведение. Неспособность профессоров и академиков отличить подлинно научную аргументацию от псевдонаучной шелухи этой стаи принимает иногда вид просто паранойи.

Нет, к сожалению, другого пути борьбы с этим явлением, кроме как, с одной стороны, продолжать выпускать логически и научно высококачественные материалы, и, с другой стороны, морально наказывать профессоров и академиков за их паранойяльное поведение.

В целом, конечно, ситуация и перспективы не отрадны. (У меня давно ощущение, что я живу на Планете Дураков; массовая глупость людей удручает, и нет способа их сделать умными. В таких условиях вполне естественным будет результат, что никто так и не услышит и не поймет умные слова).

О других вопросах, затронутых в Вашем первом процитированном письме, в другой раз; тон настоящего письма таков, что тут не стоит приплетать теоретические вопросы.

С уважением, В.Э.

Kadisov-2019-02-24

[Продолжая 2019-02-22 и 2019-02-23]

от: Евгений Кадисов <kadissov.e@gmail.com>

Кому: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

дата: 24 февр. 2019 г., 17:06

тема: Re: Несчётные множества

отправлено через: gmail.com

Здравствуйте, Валдис Валевич.

Ничего страшного или странного нет в том, что у нас разное мышление. Мы люди, и потому разные. Когда из физики было изгнано понятие «теплород», фактически произошло переосмысление некоторых понятий, например, понятия «температура». Если прежде понятие «температура» означало нечто вроде удельного содержания теплорода, то теперь «температура» означает выраженную в определённых единицах среднюю кинетическую энергию атомов. И никто не вспоминает старого смысла понятия «температура». Никаких ассоциаций с понятием «теплорода» понятие «температура» в наше время не вызывает. Ещё больше ассоциаций вызывало такое понятие как «теплоёмкость», и ничего. Ни температуру, ни теплоёмкость не стали изгонять из физики, хотя они в своё время явно вызывали ассоциации с понятием «теплорода».  И в нашем случае придётся переосмысливать некоторые понятия. Я предлагаю переосмыслить такие понятия, как «счётность» и понятие «несчётность».

Так, канторизм будет изгнан из математики, как был изгнан теплород.  «Счётность» будет пониматься как возможность для множества биекции с множеством натуральных чисел и «несчётность» как невозможность такой биекции. А «континуум» и трансфинитные числа должны упоминаться как заблуждения, как зигзаги науки математики, как временное привнесение в неё псевдонауки. Можно даже поговорить о пользе, которую внёс в математику канторизм, заставив нас пристальнее вглядеться в неё.

С уважением Евгений Кадисов.

от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

Кому: <kadissov.e@gmail.com>, <makarovmv2000@yandex.ru>, alexbav4anystuff@mail.ru

дата: 25 февр. 2019 г., 17:17

тема: Fwd: Несчётные множества

отправлено через: gmail.com

Здравствуйте, Евгений Михайлович!

Понятие «температура» было связано не с теплородом, а с термометрами: Реомюра, Фаренгейта и Цельсия. Когда произошла смена модели Т (с теплородом) на модель Д (с движением молекул), термометры что показывали прежде, то и показывали дальше, и не было никакой необходимости менять название у природного явления «температура». Модели Т и Д имели к этому явлению лишь такое отношение, что по-разному объясняли сущность этого природного явления.

Чуть менее наглядно, но в сущности так же обстоят дела и с понятием «теплоемкость». К моменту смены Системы Т на Систему Д существовала практическая термодинамика как теория для построения паровых (и в общем случае других тепловых) двигателей; главный вклад в нее внес Карно, но работали и другие. Эта практическая термодинамика была инвариантна относительно моделей Т и Д. Разработана она была, конечно, при Системе Т (с теплородом), но все ее выводы оставались в силе и при замене Системы Т на Систему Д. Поэтому опять же не было необходимости переименовывать ее понятия, такие как «теплоемкость»; эти понятия просто получали другие объяснения, подобно «температуре».

Когда Вы смотрите на происходившее тогда в физике как на «переосмысление некоторых понятий», то Вы держите в своем поле зрения вещи вторичные и второстепенные, выпуская из вида вещи первичные и фундаментальные. «Зри в корень!», говорил Козьма Прутков вслед за А.С. Шишковым, а корень здесь – смена Системы понятий Т на Систему понятий Д. «Переосмысление» – это уже последствия смены Систем.

Когда мы в математике меняем Систему К на Систему М, то, разумеется, можно с понятиями «счетно» и «несчетно» поступить так же, как поступали с понятиями «температура» и «теплоемкость» при смене Системы Т на Систему Д, т.е. сохранить название явления, дав ему другое объяснение. Но такой подход мне представляется оправданным только в том случае, если рассматриваемые явления имеют самостоятельное значение, не зависящее от сменяющихся систем понятий. Понятия «температура» и «теплоемкость» такое самостоятельное значение имели, а вот «счетность» и «несчетность» (как невозможность биекции с N) по-моему никакого серьезного значения не имеют. Эти понятия можно выбросить из теории без всякого для нее ущерба. Только для кантористов (и в кантористском понимании термина «несчетно»!) они важны.

Всё это, разумеется, «спор о терминах» по вопросу «Что как называть», и такие споры, как известно, бессмысленны. Идея сохранить термин «несчетно» в новом, не-кантористском значении, мне не представляется хорошей, потому что сразу создает трудности в том, чтобы объяснить, что же мы, собственно, отрицаем у кантористов. Без этой идеи можно просто сказать: «Несчетных множеств нет» (подразумевая несчетность в кантористском смысле). А при Вашей идее надо вдаваться в обширные объяснения: «Вы знаете, кантористских несчетных множеств нет, но есть наши несчетные множества, которые отличаются...» (и поехали разъяснения). Система понятий и терминов должна стремиться к тому, чтобы минимизировать необходимость подобных объяснений, и в данном случае такая минимизация достигалась бы вводом для «несчетности по Кадисову» отдельного термина, например, «ненумеруемость» – раз уж вообще Вы всё-таки хотите этим понятием пользоваться.

(Я бы вообще не пользовался: ну, можно отметить, что биекция между множествами натуральных и иррациональных чисел невозможна; это определенное свойство генерирующих алгоритмов, но оно не имеет никаких дальнейших последствий, и свойств подобной значимости у разных алгоритмов можно зафиксировать сотни и тысячи, и нет никакой необходимости присваивать им всем специальные термины. Особое выделение свойства «несчетность по Кадисову = ненумеруемость» – это просто эхо кантористских теорий, пережиток их влияния).

Вы написали:

«А «континуум» и трансфинитные числа должны упоминаться как заблуждения, как зигзаги науки математики, как временное привнесение в неё псевдонауки».

Это, конечно, так, но у меня создалось впечатление, что у Вас нет адекватного и правильного представления о том, как это «должны» можно было бы достигнуть, и вообще о подоплеке всего этого дела.

Когда в 1980 году я понял ошибочность канторизма, осознав первый на моем веку алгоритм биекции между натуральными числами и отрезком [0, 1] и тут же увидел, почему ошибочен диагональный метод, я – как и все другие изобретатели подобных вещей: как Вы, как наш коллега М.В. Макаров, как Марченко в 1966 году, как профессор Зенкин в 2000 году, – я, как и все, первым делом подумал, что будет достаточно преподнести кантористам (тогда я еще не называл их так) эти соображения, они их поймут – и согласятся со мной.

Однако очень скоро я убедился, что это ожидание ошибочно: кантористы и не думали соглашаться. То, что они отвечали на преподнесенные им соображения, заставило меня переосмыслить проблему и поставить вопрос в более глубокой, более фундаментальной плоскости. Тогда на арену вышли Система К и Система М и был выдвинут вопрос о Сравнении систем как о способе решения проблемы. Это было в начале 1980-х годов.

С моей точки зрения Вы еще не дошли до этой второй фазы осознания проблемы, еще не понимаете роль сравнения систем в этом деле и думаете, что всё можно будет решить, просто преподнеся свои соображения кантористам. (Вот, в https://dxdy.ru/topic132198.html преподнесли – многого ли достигли?).

Дело в том, что канторизм не является «просто псевдонаукой», как это нам может показаться с первого взгляда. Канторизм опирается на определенную систему понятий и постулатов (названную мной в начале 1980-х годов «Системой К»), и если строго последовательно соблюдать эти понятия и постулаты, мыслить непременно в рамках Системы К, то всё так и получается, как это расписывает теория канторизма.

А наши возражения и доказательства предполагают наличие другой системы понятий и постулатов, только в рамках которой наши соображения и приобретают доказательную силу. Поэтому бессмысленно кидаться «доказательствами» с одной и другой стороны, а нужно разбирать фундамент всего этого дела в виде сравнения Системы К и альтернативной ей Системы М.

Мы отвергаем канторизм не «просто так» и не потому, что нашли алгоритм биекции между N и [0, 1] (ничего не доказывающий для системы К). Мы отвергаем канторизм потому, что мы отвергаем саму Систему К, в рамках которой он построен: вместо понятий Системы К мы выдвигаем свои более точные и более соответствующие реальности понятия, а постулаты Системы К мы признаем нелепыми и заменяем их своими постулатами, тоже более соответствующими физической реальности.

Вот та логическая платформа, на которой канторизм может быть побежден. Их надо заставить сравнивать системы (для того, чтобы выбрать из них лучшую). Это в принципе то же самое, как Система Д победила Систему Т. Она выиграла сравнение потому, что лучше и шире объясняла явления. И то же самое с системами Птолемея и Коперника – которая из них лучше объясняет явления? И так везде в науке.

Кантористы с самого начала в общем-то понимали, что при сравнении систем они дело проиграют. Поэтому они не стали защищаться типа «Наша система лучше!». Ничего подобного: они стали отрицать вообще сам Принцип сравнения систем. «Не надо ничего сравнивать! Нет никакой альтернативной системы! Наша система единственная! Никакие другие понятия невозможны! Никаких постулатов у нас нет, и заменить их чем-то другим невозможно!» – вот их платформа защиты – невообразимо нелепая, антинаучная, религиозно-сектантская.

Но такую позицию невозможно сколь-нибудь успешно защищать в свободном, честном, научном споре. Поэтому для кантористов единственный выход: «Не обсуждать! Не допускать никаких обсуждений!».

Несмотря на такое поведение кантористов, именно требование сравнения систем должно быть главной нашей платформой борьбы, а выдвижение Системы понятий и постулатов, альтернативной Системе К, – главным нашим оружием.

С уважением, В.Э.

Kadisov-2019-02-23

от: Евгений Кадисов <kadissov.e@gmail.com>

Кому: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

дата: 23 февр. 2019 г., 06:41

тема: Re: Несчётные множества

отправлено через: gmail.com

Здравствуйте, Валдис Валевич.

На практике, конечно, нет различий между иррациональными и рациональными числами. С другой стороны из теории изгнать иррациональные числа нельзя. Построить биекцию иррациональных чисел с натуральными, похоже, нельзя. Значит их множество можно называть несчётным. Поскольку множество действительных чисел счётно, а оно состоит из рациональных и иррациональных чисел, следовательно, несчётные множества не так уж велики, они никак не больше счётных множеств, вопреки мнению кантористов.

С уважением Евгений Кадисов.

от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

Кому: Евгений Кадисов <kadissov.e@gmail.com>

дата: 23 февр. 2019 г., 13:48

тема: Re: Несчётные множества

отправлено через: gmail.com

Здравствуйте, Евгений Михайлович!

Теперь мне понятен ход Ваших мыслей при обозначении «множества иррациональных чисел» как «несчетного». Но я думаю, что тут лучше было бы использовать другой термин вместо «несчетное», чтобы избежать иначе неизбежных постоянных недоразумений. Термин «несчетное» занят кантористами, и у всех, естественно, сразу возникают ассоциации с тем, как это понимают кантористы. А рассматриваемое Вами свойство множества иррациональных чисел можно обозначить, например, «ненумеруемо» или т.п. Тогда читатель, вместо того, чтобы уйти по неправильным ассоциациям, задумается, что это такое, и, найдя определение, поймет правильно.

С уважением, В.Э.

от: Евгений Кадисов <kadissov.e@gmail.com>

Кому: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

дата: 23 февр. 2019 г., 16:24

тема: Re: Несчётные множества

отправлено через: gmail.com

Здравствуйте, Валдис Валевич.

Наша цель навести порядок в математике, выбросив из неё такие понятия как «континуум» и, особенно, «трансфинитные числа». Как в своё время из физики было выброшено понятие «теплород». Здесь мы с Вами, кажется, едины во мнении. Если при этом нам удастся изменить смысл понятия «несчётное множество», это было бы неплохо. Введение понятия «ненумеруемое», мне кажется, дела не меняет, ведь это просто тяжеловесный синоним понятия «несчётное». Как «нумеруемое» тяжеловесный синоним для понятия «счётное».  Хотя мне близки Ваши соображения по поводу ассоциаций.

С уважением, Евгений Кадисов.

от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

Кому: Евгений Кадисов <kadissov.e@gmail.com>

дата: 24 февр. 2019 г., 13:34

тема: Re: Несчётные множества

отправлено через: gmail.com

Здравствуйте, Евгений Михайлович!

Раскрывается разница в образе мышления у Вас и у меня. Вы написали:

«Если при этом нам удастся изменить смысл понятия "несчётное множество", это было бы неплохо».

При Вашем образе мышления сначала существует некоторое понятие (в данном случае «несчетность»), а потом можно у этого понятия «изменить смысл». При моем образе мышления всё обстоит совершенно иначе. Никакого заранее данного «понятия» нет, а имеются объекты внешнего (для моего мозга и, соответственно, для Вашего) мира, которым эти мозги присваивают идентификаторы (точно так же, как программист в своей программе присваивает идентификаторы ячейкам, полям, байтам, функциям и т.д.). Если объекты разные, то и идентификаторы им должны быть присвоены разные – иначе невозможна точная и однозначная работа с этими объектами. «Несчетность по Кантору» отличается от «Несчетности по Кадисову», следовательно, это разные объекты и должны иметь разные идентификаторы.

С точки зрения моего образа мышления у Вас также неточно сформулирована цель преобразования математики. У Вас получается, что цель – само по себе устранение «континуума» и «трансфинитных чисел». Но приведенный Вами пример из физики очень хорошо иллюстрирует действительное положение дел. Ведь целью тогдашнего преобразования физики не было просто устранение «теплорода» само по себе. Суть дела заключалась в том, что одна система понятий (содержащая понятие теплорода; назовем ее Системой Т) сменилась другой системой понятий (включающей представления о движении молекул; назовем ее Системой Д). Суть была в том, чтобы заменить Систему Т (модель Т) на Систему Д (на модель Д).

И точно так же в нашем случае суть происходящего заключается в том, чтобы в математике заменить Систему понятий К на Систему понятий М (такие обозначения эти системы получили еще в начале 1980-х годов, и во избежание несогласованности со старыми текстами, эти обозначения целесообразно сохранить). Система К – это система понятий и постулатов канторизма, приводящая к «трансфинитным числам» и т.д. Система М – это другая система понятий и постулатов, и в ней трансфинитные числа исчезают, как в Системе Д исчез теплород.

И самое фундаментальное, что нам предстоит делать, это: точно осознать и сформулировать понятия и постулаты Системы К и понятия и постулаты противоположной ей Системы М, а далее – обосновать, почему мы выбираем Систему М, а не Систему К.

С уважением,

В.Э.

Egle-2019-02-22

от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

Кому: Евгений Кадисов <kadissov.e@gmail.com>

копия: <makarovmv2000@yandex.ru>, alexbav4anystuff@mail.ru

дата: 22 февр. 2019 г., 22:22

тема: Re: Несчётные множества

отправлено через: gmail.com

Здравствуйте, Евгений Михайлович!

В ответ на Ваше письмо 2019-02-17; Вы там написали:

«Так, иррациональные и трансцендентные числа образуют несчётные множества».

Последний раз я этот вопрос рассматривал в сентябре 2018 года в книге DEKIND; прочитайте, пожалуйста, там страницу 26 (а также всё кругом, что необходимо для ее понимания). «Иррациональные числа» и «трансцендентные числа» есть понятия Системы с потенциальной бесконечностью, и в ТАКОЙ системе термин «иррациональное число» означает, что продукт его генерации никогда, ни на каком (конечном) шаге этой генерации, не совпадет ни с одним из продуктов алгоритмов генерации «рациональных чисел»; в свою очередь термин «трансцендентное число» означает, что продукт его генерации ни при каком конечном шаге не совпадет ни с одним результатом генерации алгебраических чисел.

Таким образом, это вопросы соотношений между продуктами разных алгоритмов (генерации).

В Системе с потенциальной бесконечностью иррациональные и трансцендентные числа не могут получить натуральные номера (т.е. множества, содержащие эти числа, не могут стать «счетными» при кантористском определении этой «счетности»; впрочем, в Системе с потенциальной бесконечностью эти множества просто-напросто вообще не существуют, так как их элементы – собственно иррациональные и трансцендентные числа – лишь строятся, но никогда не могут быть построены до конца).

Если же мы принимаем актуальную бесконечность (т.е. переходим к Системе с актуальной бесконечностью), то разница между рациональными с одной стороны и иррациональными и трансцендентными числами с другой стороны, исчезает: последние становятся просто «рациональными числами» с актуально бесконечным числом знаков после запятой, и при биекции с натуральными числами им могут быть сопоставлены актуально бесконечные натуральные числа (которых не было в Системе с потенциальной бесконечностью, но которые стали существовать, когда мы ввели актуальную бесконечность).

Мнение о том, что множества иррациональных и трансцендентных чисел «несчетны», основывается на путанице в понятиях. При этом мнении предполагается (по умолчанию), что иррациональные и трансцендентные числа существуют (т.е. что бесконечные процессы их генерации окончены, т.е. что для них введена актуальная бесконечность). В то же время предполагается (опять же: по умолчанию), что актуальная бесконечность НЕ введена для натуральных чисел (и, значит, что актуально бесконечно больших натуральных чисел нет).

Ну, если создан такой перекос, то, естественно, можно начинать утверждать, что «иррациональные и трансцендентные числа образуют несчётные множества». Но желательно при этом понимать, что «образуют»-то они это только из-за перекоса, а перекос создал сам говорящий.

14 февраля 2019 г. в 19:07 в КИФ поступило письмо от лица, не давшего о себе других сведений, кроме идентификатора alex и подписи Алексей. Он пишет:

«По несчётным множествам – а что вы скажете про пример несчётного множества в виде бесконечного количества точек? Например, на плоскости, или на линии, или в любом N-мерном пространстве? Здесь сложно поставить каждой точке в соответствие некое число, просто потому, что непонятно, как перебрать все точки.

Так же есть другие несчётные множества, например – иррациональных чисел. И мне кажется здесь проблема не в определениях Кантора, но в нашем понимании бесконечности. Поймём бесконечность – не будет парадоксов и прочего, про что вы писали в своём сообщении в одной из тем».

Алексей говорит о сообщении https://dxdy.ru/post1373705.html#p1373705, но видно, что читал он его недостаточно внимательно.

Про «несчётные множества, например, иррациональных чисел» я уже сказал выше, но теперь скажу еще и «про пример несчётного множества в виде бесконечного количества точек».

Вкратце ответ звучит так: «Такого множества не существует». Здесь опять всё построено на нечетких понятиях и неосознанных представлениях.

Возьмем самый простой пример «N-мерного пространства»: когда N=1, и перед нами прямая линия. Чтобы не путаться в понятиях, нужно в первую очередь спросить себя: о каком объекте мы говорим? Это объект физики или геометрии (большинство людей не очень осознают разницу). Если наш объект принадлежит физическому миру, то рассуждения уходят в одно русло, совершенно прочь от другого русла геометрии; в русле физики речь должна пойти о константе Планка, о квантах, искривлении луча света от гравитации и т.п. вещах, в контексте которых будет очень трудно определить, что же такое эта прямая как «несчетное множество бесконечного количества точек».

Если же это объект геометрии, то он – объект воображаемый: на самом деле его нигде нет. В лучшем случае он представлен чернильным отрезком длиной в несколько сантиметров в ученической тетради или меловым отрезком длиной с метр на доске (причем ясно, что ни в тетради, ни на доске этот отрезок не обладает ни непрерывностью, ни отсутствием второй размерности).

Итак, «настоящая прямая» – это исключительно прямая воображаемая. Можно спросить себя: Как мозг, будучи биологическим компьютером, т.е. системой обработки информации, может что-то «вообразить»? Ответ дает Веданская теория, предоставляя программный механизм «воображения» (наряду с объяснением других деяний мозга). В полном объеме разбирать этот механизм здесь нет возможности. Скажем только вкратце, что абстрактная «прямая» – это потенциальный продукт программ конструирования реальных прямых. (Кто понял, тот понял, кто не понял, пусть пока живет так).

Таким образом, геометрическая прямая – это потенциальный продукт некоторого (мозгового) алгоритма. И в этом продукте пока что нет никаких точек – ни «счетного», ни «несчетного» их количества. Точки в этот продукт заносятся другим (мозговым) алгоритмом. (Как и сама прямая, точки лишь воображаемы).

Этимологический словарь Крылова (https://gufo.me/dict/krylov/) в статье «точка» пишет:

«Корень у этого слова тот же, что и глагола тыкать, а исходное значение – «место, куда тыкнули», «след от тыкания»».

Итак, в примере с «геометрической прямой» мы имеем дело с продуктами двух (мозговых) алгоритмов: один создает (воображаемую) прямую как аморфный объект без точек, а другой (мозговой) алгоритм «тыкания» отмечает в этом объекте отдельные точки, и куда он тыкнет, там и будет точка на прямой. «Непрерывность прямой» и другие «свойства точек» на самом деле есть свойства этого «Алгоритма тыкания» – имеется потенциальная возможность «тыкнуть» ближе, еще ближе и т.п. И нет никаких оснований видеть здесь какие-то «несчетные множества».

То же самое имеем когда N (число размерностей) = 2, 3, 4 и т.д. Только чуточку усложняются генерирующие алгоритмы – и всё. В остальном то же самое.

Несчетных множеств нет. Или, вернее – единственный путь, как получить несчетное множество, – это просто постулировать: «Считаем это множество несчетным!». Ну, если в какой-то Системе постулирована несчетность определенного множества – ну, тогда (в этой Системе) данное множество считается несчетным. И вся наука.

А вывести несчетность каких-то множеств из внешних (всеобщих, не постулированных специально для данной Системы) посылок – невозможно.

С уважением,

В.Э.

Kadisov-2019-02-17

от: Евгений Кадисов <kadissov.e@gmail.com>

Кому: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

дата: 17 февр. 2019 г., 11:56

тема: Несчётные множества

отправлено через: gmail.com

Здравствуйте, Валдис Валевич.

Я бы хотел к Вашему комментарию на ZerkalMetod2.pdf добавить следующее.

Несчётные множества существуют, но вовсе не такие, о каких говорят кантористы. По Кантору всякое несчётное множество много больше любого счётного множества. А я думаю, что они просто неудобны для счёта, для них не удаётся устроить биекцию с множеством натуральных чисел. Так, иррациональные и трансцендентные числа образуют несчётные множества. Но не в том смысле, как это полагают кантористы.

С уважением Евгений Кадисов.

Egle-2019-02-16

Комментарий к ZerkalMetod2.

Соглашаясь в принципе с содержанием статьи М.В. Макарова ZerkalMetod2.pdf, хочу отметить следующее.

1. Понятие «счетности» – это введенное Кантором и используемое кантористами понятие, которое на самом деле практически не имеет смысла. «Счетным» окажется всякое множество, генерируемое в линейном порядке, т.е. один элемент за другим. Если множество может быть ТАК создано, значит, оно «счетно». «Несчетным» оказалось бы множество, создаваемое таким алгоритмом, который принципиально невозможно выполнить шаг за шагом. Но непонятно, что это мог бы быть за алгоритм.

2. Поэтому все бесконечные множества, создаваемые по тому или иному алгоритму, оказываются счетными, а если все бесконечные множества счетны, то это понятие не имеет никакого смысла и должно быть отброшено.

3. Понятие счетности становится осмысленным только в том случае, если существуют также и несчетные множества. Кантористы считают, что так оно и есть, и для этого у них имеются несколько разновидностей «доказательств». Как мы знаем, все эти доказательства несостоятельны и в лучшем (для кантористов) случае сводятся к простому постулированию: «Существуют несчетные множества!» (а в худшем случае содержат очевидные логические ошибки).

4. Поэтому для нас имеет мало смысла доказывать, что то или иное множество счетно (что делается в разбираемой статье). (И так ясно, что все они счетны).

5. Однако для нас имеет смысл ввести понятие равномощности, означающей, что во множествах одинаковое количество элементов, но не канторовской равномощности, которая предполагает, что все счетные множества равномощны (это предположение называется Постулатом Кантора), но более тонкое понятие равномощности, учитывающей условия генерации множеств.

6. Так множество N натуральных чисел и множество P четных чисел равномощны, если они генерируются независимо одно от другого, параллельно, сопоставляя шаги:

N : 1, 2, 3, 4, 5, ...

P : 2, 4, 6, 8, 10, ...

7. Но множество N натуральных чисел и множество P четных чисел НЕ равномощны, если они генерируются так, что второе зависит от генерации первого (когда в N появляется четное число, тогда оно помещается в P):

N : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

P : 2, 4, 6, ...

8. При данном способе зависимой генерации мощность множества N в два раза больше мощности множества P (хотя они оба «счетны»).

9. Очевидно, что Постулат Кантора заключается в том, что все «счетные» (т.е. на самом деле все бесконечные) множества предполагаются независимо генерируемыми.

10. Различение мощностей в зависимости от способа генерации дает более точную картину действительности (чем у кантористов) и позволяет наглядно увидеть ошибки канторизма. Так, доказательство «золотой теоремы» Кантора (о том, что множество 2^M всех подмножеств множества M имеет мощность большую, чем M) несостоятельно при независимой генерации (тогда они оба счетны), но правильна при зависимой генерации (когда 2^M строится из М, а не само по себе). Действительно, тогда 2^M > М, но при этом способе генерации уже и N > P.

11. Таким образом, здесь канторизм построен на перескакивании с одного понятия на другое. (И поэтому существование несчетных множеств в очередной раз не доказано).

12. Итак, представляется, что Автору (разбираемой статьи) следовало бы меньше заботиться о доказательствах «счетеости», а больше обратить внимание на ввод более точного понятия равномощности.

13. Автор пишет в начале своей статьи:

«Чтобы показать несостоятельность подходов, применяемых Кантором и его последователя­ми для доказательства невозможности пересчета множества вещественных чисел, достаточно построить конструктивный метод такого пересчета».

14. На самом деле это не так: дело не столь просто. Нужно не только «построить конструктивный метод такого пересчета», но и иметь уверенность, что этим «конструктивным методом» действительно создается весь отрезок [0, 1], все его вещественные числа. (Как раз это кантористы и будут отрицать). Поэтому тут на арену выходит постулат: Мы постулируем, что нашим конструктивным процессом отрезок и его вещественные числа создаются полностью, что ничего другого в нем нет. (Постулат процессов).

15. А кантористы, значит, постулируют, что там есть еще что-то, «неконструктивное», «невычислимое» и т.п.

16. Дальше можно было бы сравнивать эти два постулата и соответственно две системы, на них построенные (кантористскую систему К и нашу систему М), но кантористы отказываются признать, что такие постулаты (и соответственно такие системы) существуют. (Этим, разумеется, ставя себя в разряд людей, неспособных логически мыслить).

17. Вместо того, чтобы анализировать понятия и постулаты, кантористы просто обвиняют нас в «непонимании математики» и т.п. Типичный ответ кантористов звучит так (это слова академика Ю.Г. Решетняка, сказанные им в письме от 30 июня 2018 г., 21:38):

Некто по фамилии Эгле за эти 37,5 лет показал себя самовлюбленным параноиком, не понимающим математику и не способным воспринимать простейшие математические истины. Мог бы чему нибудь научиться за 37,5 лет, но увы не преуспел. Программистский подход в математике действует только в больном воображении господина Эгле и разбираться в той каше, которая у него в голове не вижу необходимости (..). Все на свете дураки, один человек умный остался. Только этот умный человек оказался не в состоянии понять некоторые простейшие математические рассуждения и то что он не понимает объявляет лженаукой. Дайте совет студентам, поленившимся выучить материал к экзамену: «То, что вы, профессор, спрашиваете – это лженаука и я это учить не стал. Ставьте мне пятерку. Если не согласны, то я пожалуюсь в комиссию академии наук по борьбе с лженаукой!» Ю.Г.Р.

18. Имея дело с кантористами, Вы будете встречаться только с такой аргументацией. Другой никогда не было.

19. Но мы не должны опускаться до уровня профессоров Новосибирского университета и академиков РАН. Мы должны ясно отдавать себе отчет, на каких именно логических принципах основываются наши взгляды.

20. Один из таких принципов – это Постулат процессов: всё в математике создается процессами, и познано всё в ней может быть, детально изучая эти процессы. (В частности, из этого постулата вытекает, что никаких «неконструктивных» вещественных чисел нет, и алгоритмы, строящие биекцию – такие, как Зеркальный алгоритм, описанный в статье, – они охватывают всё, что есть в отрезке [0, 1]).

21. Другой принцип – это Постулат Антикантора (т.е. противоположный Постулату Кантора). Постулат Кантора объявляет все «счетные» (т.е. генерируемые шаг за шагом) множества равномощными (имеющими одинаковое количество элементов). А мы провозглашаем, что счетные множества равномощны только при независимой их генерации, а при зависимой генерации соотношения мощностей зависят от условий генерации.

ZerkalMetod2

Зеркальный метод доказательства счетности множества вещественных чисел

Макаров Максим Валентинович (Москва)

Статья находится в ZerkalMetod2.pdf.

Поступила 15 февраля 2019 г. в 21:45.

Kadisov-2019-02-14

Опровержение диагонального «доказательства» существования мощности континуума устраняет препятствие к воссоединению математиков

 

Кадисов Евгений Михайлович (Москва) 

Аннотация.

Математики всех мировоззрений объединяйтесь!

Известное диагональное доказательство (ДД) Георга Кантора с его «мощностью континуума» (МК) и континуум гипотезой (CH) раскололи математическое сообщество.

Математики, не принимающие МК, стали предлагать отличные от классических варианты осно­ваний математики: финитизм, интуиционизм и конструктивизм.

С другой стороны, нам неизвестно ни одной попытки посмотреть, что за число получается в результате диагональной процедуры Георга Кантора. Оказывается, именно на этом пути лежит простое доказательство несостоятельности как самого диагонального доказательства, так и континуум-гипотезы. Поскольку результат диагонального процесса относится к последовательности, из которой он констру­ируется, как предел последовательности к самой последовательности.

Так как до сих пор попытки доказать или опровергнуть CH не имели успеха, предлагаемое опро­вержение ДД предоставит, наконец, математикам почву для воссоединения.

Ключевые слова.

Теория множеств Георга Кантора, счётные множества, несчётные множества, мощность континуума, действительные, рациональные, иррациональные и трансфинитные числа.

Предисловие.

Известное диагональное доказательство (ДД) Георга Кантора, его «мощность континуума» (МК) и связанная с этим континуум-гипотеза раскололи математическое сообщество.

Дело в том, что доказательство Г. Кантора несчётности множества вещественных чисел основано на довольно простой и с виду убедительной процедуре. Предположим обратное (т.е. множество вещественных чисел счётно) и все вещественные числа расположим одно под другим в том порядке, в котором мы их пронумеровали (далее последовательность пронумерованных вещественных чисел – ПВЧ). Теперь составим число, выбирая из этих чисел цифры, расположен­ные на диагонали, и изменяя их. Очевидно, что новое число отличается от всех пронумерованных ранее (ЧОВПР). Из этого Г. Кантор делает, будто бы, естественный вывод, что вещественных чисел слишком много, чтобы их можно было сопоставить с множеством натуральных чисел.

Но если принять МК, то необходимо принять и множество противоречий, которые с ней связаны. Рассмотрим лишь некоторые из них.

С одной стороны утверждается, что существуют множества (называемые несчётными) с таким количеством элементов, которые невозможно сосчитать, но не потому, что элементов бесконечно много. Так, бесконечно много натуральных чисел, но считается, что их можно сосчитать.

С другой стороны, хотя количество элементов в таких множествах сосчитать невозможно, вводятся специальные числа, которые соответствуют количеству элементов в несчётных множествах.

Более того, приходится принять, что такие числа (трансфинитные числа) образуют целую иерархию.

Но ведь ещё в античные времена было известно, что нет такого натурального числа, для которого не нашлось бы ещё большего. Как с этим согласовать существование трансфинитных чисел?

С подобными утверждениями не согласились многие математики, в том числе такие крупные как, например, Кронекер и Пуанкаре.

Математики, не принимающие МК, стали предлагать отличные от классических варианты оснований математики: финитизм, интуиционизм и конструктивизм.

Вопрос о том, верна ли континуум-гипотеза (CH) Георга Кантора был поставлен Гильбер­том в качестве первой проблемы оснований математики в 1900 году.

При одной из её формулировок CH предполагает, что мощность континуума – наименьшая, превосходящая мощность счётного множества. Говоря иначе, всякое счётное множество беско­нечно мало по сравнению с любым несчётным множеством.

Например, множество иррациональных чисел на каком-либо отрезке, поскольку оно несчётно, оказывается несравнимо больше счётного множества рациональных чисел на том же отрезке.

Попытки доказать или опровергнуть CH предпринимались и ранее. Гёдель (1940) доказал, что отрицание CH недоказуемо в ZFC – системе аксиом Цермело-Френкеля с аксиомой выбора, а Коэн (1963) доказал (1940), что CH недоказуема в ZFC.

Значит, ZFC и CH независимы друг от друга. Таким образом, с одной точки зрения CH (несмотря на все связанные с ней противоречия) следует добавить к системе аксиом.

Нам же представляется, что математической реальности более адекватна другая точка зрения. Та точка зрения, что первая проблема Гильберта осталась нерешённой. Значит, её решение следует искать на другом поле.

Насколько нам известно, впервые несостоятельность CH показана в работе профессора Зенкина (2000). Нам представляется, что сделано это недостаточно убедительно. Этот недостаток мы здесь и собираемся устранить.

Но прежде, чем приступить к этому, сделаем следующее замечание. Нам понадобится выбрать систему счисления. Если выбрать десятичную систему, то с помощью диагонального метода Кантора можно построить множество ЧОВПР. Выбирая двоичную систему, мы получим всего одно ЧОВПР. Уже один этот факт пополняет множество противоречий, вскользь упомянутых выше.

Вопрос о том, истинна ли континуум-гипотеза Кантора, не должен зависеть от системы счисления. Поскольку системы счисления равносильны, мы имеем право выбрать двоичную систему, поскольку она упрощает решение задачи. В упомянутой работе Зенкин также выбрал двоичную систему, но его способ доказательства приводит к бесконечной последовательности добавлений всё новых и новых ЧОВПР к ПВЧ, что в некоторой степени обесценивает его метод или, по крайней мере, делает его недостаточно убедительным.

Насколько нам известно, до сих пор никто не посмотрел, что же за число получается в результате диагональной процедуры Г. Кантора. Оказывается, идя по этому пути, довольно просто показать несостоятельность диагонального доказательства Георга Кантора и его CH.

Постановка задачи.

Докажем, что диагональная процедура Георга Кантора несостоятельна, и, следовательно, множество вещественных чисел счётно. Поскольку множество вещественных чисел состоит из множества рациональных и множества иррациональных чисел, тем самым мы докажем, что счётное множество вещественных больше несчётного множества иррациональных чисел. В результате получается противоречие, которое разрешается только в том случае, если континуум-гипотеза неверна, и несчётное множество (например, множество иррациональных чисел) вовсе не потому таково, что в нём слишком много элементов, чтобы их можно было считать, оно лишь плохо организовано для счёта.

Доказательство.

Мы будем пользоваться двоичной системой. Однако, нумеровать числа будем так, чтобы яснее показать несостоятельность диагонального доказательства Георга Кантора.

Для доказательства несчётности вещественных чисел Г. Кантор использовал интервал (0; 1). Для облегчения нашей задачи, мы расширим это множество, добавив в него левую границу, и, таким образом, будем рассматривать не интервал (0; 1), но полуинтервал [0;1). Итак, начнём наше доказательство.

Всякое вещественное число на полуинтервале [0;1) можно представить бесконечной двоичной дробью, в которой слева от точки находится нуль.

A = 0.a1a2a3a4a5...ai...

(1)

Среди рассматриваемых чисел найдутся такие, в которых справа имеется бесконечная последовательность из нулей или единиц. Эти числа, естественно, могут быть записаны с конечным количеством значащих цифр и с необязательным добавлением справа нуля в скобках, означающим бесконечную последовательность нулей.

A = 0.a1a2a3a4a5...an(0),

(2)

где двоичные знаки a₁...a_n−1 могут принимать значения 0 или 1, а двоичный знак a_n только значение 1.

Вещественное число нуль сопоставим с числом нуль из множества натуральных чисел.

Сопоставление остальных чисел множества вещественных чисел с числами множества натуральных чисел начнём с числа, представленного одной значашей цифрой после двоичной точки. Это число: 0.1(0) или 0.1, которое мы и поставим в соответствие с натуральным числом 1.

Теперь переходим к числам, которые представлены двумя цифрами после двоичной точки. Таких чисел окажется 2: 0.01 и 0.11. Они получат номера 2 и 3.

Аналогичным образом пронумеруем числа с тремя цифрами после точки. Таких чисел будет 4: 0.001, 0.101, 0.011, 0.111. Они получат номера от 4 до 7.

Чисел с 4-мя цифрами после точки будет 8: 0.0001, 0.1001, 0.0101, 0.1101, 0.0011, 0.1011, 0.0111, 0.1111. Они получат номера от 8 до 15. После этого будем нумеровать числа с 5-ю, 6-ю, 7-ю и так далее значащими цифрами после точки.

Таким образом, номер числа A = 0.a₁a₂a₃a₄a₅...a_i... определяется следующим образом:

N = Σ∞i=1 ai ∙ 2i−1

(3)

Обратим внимание на последовательность чисел с номерами 2ⁿ−1. В этих числах сразу после десятичной точки имеется n единиц подряд. Таким образом, данная последовательность имеет в качестве предела число, равное 0.1111111111... или 0.(1).

Для дальнейшего выпишем несколько первых чисел из нашего списка.

0		0.000000000000000000
1		0.100000000000000000
2		0.010000000000000000
3		0.110000000000000000
4		0.001000000000000000
5		0.101000000000000000
6		0.011000000000000000
7		0.111000000000000000
8		0.000100000000000000
9		0.100100000000000000
10		0.010100000000000000
11		0.110100000000000000
12		0.001100000000000000
13		0.101100000000000000
14		0.011100000000000000
15		0.111100000000000000

В нашем списке мы не пропускаем ни одного числа с заданным количеством цифр. Следовательно, в пределе, когда список станет бесконечным, мы не пропустим ни одного числа и с бесконечным количеством цифр.

Для того, чтобы убедиться, что с помощью диагональной процедуры Георга Кантора не может получиться число, которого нет в нашем списке, посмотрим, что за число получается в результате его диагональной процедуры.

В числах, находящихся в нашем списке, особо выделены цифры, стоящие на диагонали. Это те самые цифры, которые по методу Георга Кантора следует изменить, чтобы получить число, которого нет в нашем множестве.

Поскольку на диагонали только нули, то результатом диагонального метода Георга Кантора окажется число, в котором, справа от точки будет бесконечный ряд единиц: 0.1111111111... или 0.(1), иначе 1.0.

Но ведь это то самое число, которое является пределом упомянутой выше последо­вательности. Итак, в нашем списке мы не пропускаем ни одного вещественного числа, и число, полученное в результате диагональной процедуры, входит в наш список.

Что и требовалось доказать.

Обсуждение.

Сторонники справедливости континуум гипотезы и трансфинитных чисел могут оспорить данное доказательство, исходя из того, что мы можем назвать номера только для чисел, представленных в двоичной системе с конечным количеством единиц. Ведь для вычисления номера числа с бесконечным количеством единиц потребуется бесконечно много времени.

На это мы возразим следующим образом. Наши оппоненты в одних случаях принимают актуальную бесконечность, а когда она им мешает, её отвергают. Когда Г. Кантор в своём диагональном доказательстве нумерует числа с бесконечным количеством знаков, он опирается на актуальную бесконечность. Когда отвергают наше доказательство из-за бесконечно больших номеров, то неявно опираются на невозможность актуальной бесконечности.

Да. Infinitum actu non datur. Актуальной бесконечности не дано, и она не должна исполь­зоваться в таких точных науках, как математика.

Противоречие разрешается, если вспомнить определение действительного (вещественного) числа по Г. Кантору как предела последовательности рациональных чисел – последовательности Коши или фундаментальной последовательности.

Легко видеть, что для любого вещественного числа из полуинтервала [0;1), найдётся сходящаяся к данному вещественному числу последовательность чисел, имеющихся в предлага­емом списке.

С другой стороны, можно показать некоторые свойства функций N = f(R) и R = g(N), определяющих взаимно однозначное соответствие (биекцию) множеств действительных и натуральных чисел. Допустим, мы хотим определить число, следующее по номеру за числом π/4. Это будет число, равное π/4 − 0.5. Если взять π/8, то следующее за ним число оказывается равным π/8 + 0.5.

Итак, мы показали, что диагональная процедура Георга Кантора несостоятельна. Она не в состоянии доказать, что действительных чисел «больше», чем чисел натуральных. Множество действительных (вещественных) чисел счётно.

Выводы.

Континуум-гипотеза несостоятельна. Диагональную процедуру некорректно использовать для доказательства несчётности вещественных чисел. Мощность континуума не отличается от мощности множества натуральных чисел. Несчётное множество таково не потому, что содержит слишком много элементов, оно лишь плохо организовано для счёта. Следовательно, нет осно­ваний для иерархии мощностей и трансфинитных чисел. Из математики надо выбросить такие понятия, как континуум и трансфинитные числа. Следовательно, нет оснований для раскола по вопросам оснований математики. Наоборот, есть почва для объединения математиков всех воззрений. А вместо системы аксиом ZFC математики уже объединёнными усилиями должны разработать систему, более адекватную математической действительности.

Благодарности

Автор приносит искреннюю благодарность Александру Николаевичу Маслову, моей одно­группнице Юлии Георгиевне Костылёвой, а также моей жене Маргарите Васильевне Кадисовой за полезные обсуждения данной работы.

Литература.

Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B., 1932.

Кантор Г. Труды по теории множеств. М., Наука, 1985.

Пол Дж. Коэн Теория множеств и континуум-гипотеза. – М.: Мир, 1969. – С. 347.

Gödel, K. (1940). The Consistency of the Continuum-Hypothesis. Princeton University Press.

Cohen, Paul J. (December 15, 1963). «The Independence of the Continuum Hypothesis». Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 50(6).

Зенкин А.А., «Ошибка Георга Кантора». Вопросы философии, 2000, № 2, 165–168.

Оригинал статьи в http://eugen1937.ucoz.net/Hilbert_rus.html

Копировано 2019-02-14 13:10