Egle-2019-02-16

Комментарий к ZerkalMetod2.

Соглашаясь в принципе с содержанием статьи М.В. Макарова ZerkalMetod2.pdf, хочу отметить следующее.

1. Понятие «счетности» – это введенное Кантором и используемое кантористами понятие, которое на самом деле практически не имеет смысла. «Счетным» окажется всякое множество, генерируемое в линейном порядке, т.е. один элемент за другим. Если множество может быть ТАК создано, значит, оно «счетно». «Несчетным» оказалось бы множество, создаваемое таким алгоритмом, который принципиально невозможно выполнить шаг за шагом. Но непонятно, что это мог бы быть за алгоритм.

2. Поэтому все бесконечные множества, создаваемые по тому или иному алгоритму, оказываются счетными, а если все бесконечные множества счетны, то это понятие не имеет никакого смысла и должно быть отброшено.

3. Понятие счетности становится осмысленным только в том случае, если существуют также и несчетные множества. Кантористы считают, что так оно и есть, и для этого у них имеются несколько разновидностей «доказательств». Как мы знаем, все эти доказательства несостоятельны и в лучшем (для кантористов) случае сводятся к простому постулированию: «Существуют несчетные множества!» (а в худшем случае содержат очевидные логические ошибки).

4. Поэтому для нас имеет мало смысла доказывать, что то или иное множество счетно (что делается в разбираемой статье). (И так ясно, что все они счетны).

5. Однако для нас имеет смысл ввести понятие равномощности, означающей, что во множествах одинаковое количество элементов, но не канторовской равномощности, которая предполагает, что все счетные множества равномощны (это предположение называется Постулатом Кантора), но более тонкое понятие равномощности, учитывающей условия генерации множеств.

6. Так множество N натуральных чисел и множество P четных чисел равномощны, если они генерируются независимо одно от другого, параллельно, сопоставляя шаги:

N : 1, 2, 3, 4, 5, ...

P : 2, 4, 6, 8, 10, ...

7. Но множество N натуральных чисел и множество P четных чисел НЕ равномощны, если они генерируются так, что второе зависит от генерации первого (когда в N появляется четное число, тогда оно помещается в P):

N : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

P : 2, 4, 6, ...

8. При данном способе зависимой генерации мощность множества N в два раза больше мощности множества P (хотя они оба «счетны»).

9. Очевидно, что Постулат Кантора заключается в том, что все «счетные» (т.е. на самом деле все бесконечные) множества предполагаются независимо генерируемыми.

10. Различение мощностей в зависимости от способа генерации дает более точную картину действительности (чем у кантористов) и позволяет наглядно увидеть ошибки канторизма. Так, доказательство «золотой теоремы» Кантора (о том, что множество 2^M всех подмножеств множества M имеет мощность большую, чем M) несостоятельно при независимой генерации (тогда они оба счетны), но правильна при зависимой генерации (когда 2^M строится из М, а не само по себе). Действительно, тогда 2^M > М, но при этом способе генерации уже и N > P.

11. Таким образом, здесь канторизм построен на перескакивании с одного понятия на другое. (И поэтому существование несчетных множеств в очередной раз не доказано).

12. Итак, представляется, что Автору (разбираемой статьи) следовало бы меньше заботиться о доказательствах «счетеости», а больше обратить внимание на ввод более точного понятия равномощности.

13. Автор пишет в начале своей статьи:

«Чтобы показать несостоятельность подходов, применяемых Кантором и его последователя­ми для доказательства невозможности пересчета множества вещественных чисел, достаточно построить конструктивный метод такого пересчета».

14. На самом деле это не так: дело не столь просто. Нужно не только «построить конструктивный метод такого пересчета», но и иметь уверенность, что этим «конструктивным методом» действительно создается весь отрезок [0, 1], все его вещественные числа. (Как раз это кантористы и будут отрицать). Поэтому тут на арену выходит постулат: Мы постулируем, что нашим конструктивным процессом отрезок и его вещественные числа создаются полностью, что ничего другого в нем нет. (Постулат процессов).

15. А кантористы, значит, постулируют, что там есть еще что-то, «неконструктивное», «невычислимое» и т.п.

16. Дальше можно было бы сравнивать эти два постулата и соответственно две системы, на них построенные (кантористскую систему К и нашу систему М), но кантористы отказываются признать, что такие постулаты (и соответственно такие системы) существуют. (Этим, разумеется, ставя себя в разряд людей, неспособных логически мыслить).

17. Вместо того, чтобы анализировать понятия и постулаты, кантористы просто обвиняют нас в «непонимании математики» и т.п. Типичный ответ кантористов звучит так (это слова академика Ю.Г. Решетняка, сказанные им в письме от 30 июня 2018 г., 21:38):

Некто по фамилии Эгле за эти 37,5 лет показал себя самовлюбленным параноиком, не понимающим математику и не способным воспринимать простейшие математические истины. Мог бы чему нибудь научиться за 37,5 лет, но увы не преуспел. Программистский подход в математике действует только в больном воображении господина Эгле и разбираться в той каше, которая у него в голове не вижу необходимости (..). Все на свете дураки, один человек умный остался. Только этот умный человек оказался не в состоянии понять некоторые простейшие математические рассуждения и то что он не понимает объявляет лженаукой. Дайте совет студентам, поленившимся выучить материал к экзамену: «То, что вы, профессор, спрашиваете – это лженаука и я это учить не стал. Ставьте мне пятерку. Если не согласны, то я пожалуюсь в комиссию академии наук по борьбе с лженаукой!» Ю.Г.Р.

18. Имея дело с кантористами, Вы будете встречаться только с такой аргументацией. Другой никогда не было.

19. Но мы не должны опускаться до уровня профессоров Новосибирского университета и академиков РАН. Мы должны ясно отдавать себе отчет, на каких именно логических принципах основываются наши взгляды.

20. Один из таких принципов – это Постулат процессов: всё в математике создается процессами, и познано всё в ней может быть, детально изучая эти процессы. (В частности, из этого постулата вытекает, что никаких «неконструктивных» вещественных чисел нет, и алгоритмы, строящие биекцию – такие, как Зеркальный алгоритм, описанный в статье, – они охватывают всё, что есть в отрезке [0, 1]).

21. Другой принцип – это Постулат Антикантора (т.е. противоположный Постулату Кантора). Постулат Кантора объявляет все «счетные» (т.е. генерируемые шаг за шагом) множества равномощными (имеющими одинаковое количество элементов). А мы провозглашаем, что счетные множества равномощны только при независимой их генерации, а при зависимой генерации соотношения мощностей зависят от условий генерации.