ActualBP

Об актуализации бесконечного процесса

М.В. Макаров   22.03.2019

Бесконечный процесс (БП) по определению является процессом, который никогда не заканчивается. Напротив, конечный процесс рано, или поздно приходит к своему завершению и является противоположностью БП.

Актуализация БП как воображение, что бесконечный процесс закончился, сводит этот процесс к его противоположности – конечному процессу. При этом утрачивается основное свойство БП, а именно бесконечное его продолжение. Такая актуализация зачастую приводит к парадоксам.

Один из парадоксов относится к бесконечному ряду Гранди:

Чему равна сумма этого ряда? Очевидно, что если рассматривать ряд как потенциальный бесконечный процесс, то такой суммы в виде одного конкретного числа не существует. Процесс генерирует последовательность {1, 0, 1, 0, 1, 0 …….}, которая принимает значения либо 1, либо 0, и при этом не имеет предела.

Однако в интернете можно встретить другой способ решения данной задачи. Грубая актуализация этого процесса в виде представления, что

приводит к ошеломляющему выводу, что

 «Доказательство» этого утверждения основано на том, что 1 − S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 +­ 1 − 1 ......) = 1 − 1 + 1 − 1 + 1... = S.

Такой вывод легко разбивается путем рассмотрения потенциальных бесконечных процессов, для которых 1 − S генерирует совсем другую последовательность, а именно {0, 1, 0, 1, 0, 1, 0 …….}, которая, как хорошо заметно, отлична от S.

*

Другой пример относится к лампе Томпсона. Напомню, что у нас есть лампа, которая может быть включена, либо выключена. Но процесс ее включения и выключения проходит особым образом: пусть в начальный момент времени лампа включена, через 1/2 минуты выключаем лампу, затем через 1/4 минуты снова включаем. Далее сокращаем время между каждым включением / выключением в 2 раза и так бесконечное число раз. Весь процесс займет одну минуту, поскольку сумма всех временных интервалов дает сходящийся ряд: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ….. = 1. Вопрос: через одну минуту лампа будет включена, или выключена?

На первый взгляд процесс действительно не может продолжаться дольше чем 1 минуту, и возникает убежденность, что этот процесс можно актуализировать. Однако, актуализация данного БП не может дать на поставленный вопрос определенного ответа, поскольку лампа с одинаковой вероятностью может быть как включена, так и выключена.

Но если через минуту процесс будет закончен и никаких переключений лампы больше не будет, то мы вправе ожидать конкретный результат. Вот здесь и начинаются фантастические объяснения типа лампа одновременно горит и не горит, то есть переходит в некоторое среднее состояние, подобно тому так сумма ряда Гранди равна 1/2.

То есть подход к данной задаче с точки зрения актуальной бесконечности приводит к появлению совершенно нового свойства у обычной лампы, которая изначально (по условию задачи) имела только два состояния.

Теперь рассмотрим лампу Томсона с точки зрения потенциальной бесконечности. Бесконечный ряд временных интервалов 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ….. действительно имеет предел 1 минута, но никогда сумма членов этого ряда не будет равна в точности 1. С каждым новым членом сумма будет всё ближе и ближе подходить к 1, но ее никогда не достигнет.

Условие задачи поставлено таким образом, что интервал времени между включением / выключением лампы уменьшается в геометрической прогрессии. Однако экспериментатору нужно успеть переключить лампу в строго заданный для текущего шага момент времени t_i

Число шагов в этом процессе стремится к бесконечности, а суперспособность экспериментатора неограниченно ускорять процесс переключения лампы приводит к тому, что время для экспериментатора при таких условиях никогда не достигнет одной минуты, и тем более не выйдет за ее пределы.

Попытка сжать бесконечность в одну минуту приводит лишь к тому, что время никогда не достигнет этой одной минуты, а процесс как был так и остался потенциально бесконечным.

Таким же образом мы можем рассмотреть ряд Гранди, если будем считать, что на подсчет суммы ряда нам дана 1 минута. Сумму первых двух членов ряда мы должны посчитать за 1/2 минуты, следующий член прибавить к сумме за 1/4 минуты, последующий – за 1/8 и т.д. Мы получили полный аналог лампы Томпсона, полагая, что если сумма = 1, то лампа горит, а если 0 – лампа выключена. И точно также время нашего подсчета никогда не достигнет одной минуты.

В итоге для потенциальной бесконечности нет ничего парадоксального ни в ряде Гранди, ни в лампе Томпсона. В обоих случаях мы имеем бесконечный процесс переключения из одного состояния в другое без возникновения каких-либо новых свойств рассматриваемых объектов.

*

В свое время для объяснения чудес актуальной бесконечности Гильбертом был придуман бесконечный отель. Отметим, что отель Гильберта работает со счетными множествами, а значит он в полной мере может существовать в нашем «мире программ».

К актуализации бесконечности в первую очередь относится понятие «отель Гильберта полностью заполнен». Однако, даже если все номера отеля заняты, всегда найдется место для еще одного посетителя. Характерно, что для объяснения этого феномена Гильберт использует понятие «процесс», который заключается в том, что посетитель из первого номера должен переехать в номер 2, из номера 2 – в номер 3 и так далее. Поскольку номеров бесконечное количество, всем переехавшим достанутся номера, плюс к этому освободится номер 1 для нового постояльца.

Можно возразить, что процесс такого переселения может длиться вечно, однако на подобные случаи существует своя методика. В отеле Гильберта организована система моментального оповещения всех жильцов. По команде все постояльцы одновременно выходят из своих номеров, делают несколько шагов по коридору и заселяются в соседний номер. Всё.

На вопрос «откуда возьмется свободный номер, если все номера уже заняты?» следует ответ «вот такими вот свойствами обладает актуальная бесконечность, и вы должны принять, что эти свойства выходят за рамки нашей конечной логики».

Теперь посмотрим на отель Гильберта со стороны потенциальной бесконечности. Во-первых, процесс заселения постояльцев никогда не заканчивается. Если у отеля стоит бесконечная партия желающих заселиться, то формально можно считать, что все номера заняты. Но, когда приезжает новый постоялец, процесс заселения отеля будет еще в самом разгаре. Чтобы поселить вновь прибывшего в 1-й номер, управляющий дает команду всем заселившимся на этот момент жильцам выйти в коридор. Но к этим жильцам добавится еще один человек из первой партии, для которого подошла очередь заселения. Этот человек вместо номера N будет вынужден заселиться в номер N+1, а все остальные, следующие за ним, будут заселяться со сдвигом на один номер. Вот откуда берется свободный номер, ни чудес, ни особых свойств бесконечности здесь нет.

*

В естественных науках существует закон сохранения материи. При этом принимается постулат о том, что этот закон всегда выполняется. Можно ли принять другой постулат: «закон сохранения материи выполняется не всегда»? Можно, но тогда мы должны быть готовы к тому, что во вселенной, в которой этот постулат истинен, возможны любые чудеса, как то создание вечного двигателя, возникновение материальных объектов ниоткуда, и исчезновение объектов в никуда.

Принятие постулата о существовании актуальной бесконечности напоминает постулат о нарушении закона сохранения материи. Мы уже показали, как сумма и разность целых единиц вдруг дает дробное число, а лампа Томпсона превращается в «кота Шредингера».

Еще более яркие образы представлены в книге Д. Дойча «Начало бесконечности» на примере всё того же отеля Гильберта. Начнем с того, что Дойч реализовал мечту Мавроди, построив идеальную финансовую пирамиду. Каждый постоялец отеля платит в день 1 доллар, при этом получает услуги на 1000, поскольку на оплату этих услуг идут деньги, собранные с первых 1000 номеров отеля. На оплату услуг второго постояльца идут деньги, полученные от второй тысячи номеров отеля, и т.д. В результате ВСЕ постояльцы ежедневно получают услуги на 1000 долларов. Круто!?

Еще интересней в отеле Гильберта обстоит дело с уборкой мусора. В назначенный час, пусть это будет 18:00, все жильцы в течение одной минуты собирают мусор в мешок и выставляют его к двери следующего по порядку номера отеля. Каждый житель отеля в течение следующей 1/2 минуты, если увидит у своей двери мешок, должен переместить его к двери следующего номера. Дальше нужно проверить не появился ли у двери новый мешок, и проделать аналогичные действия, но на это уже отводится 1/4 минуты. Соответственно на последующую операцию с мешками будет отводится в два раза меньше времени, чем на предыдущую. Знакомая ситуация, не правда ли? В 18:02 весь процесс передачи мусора будет завершен. Но куда он делся? Как говорил М. Задорнов: «готовы?». Он ИСЧЕЗ, растворился без следа! Дойч объясняет это с очень умным видом: есть такое понятие как «сингулярность», которая обитает там в бесконечности, и в ней все материальные объекты сливаются в одну точку и перестают существовать.

*

Характерно, что в математическом анализе нет места актуальной бесконечности, несчетным множествам и трансфинитным числам. Именно поэтому «корабли не строятся» и «самолеты не летают» на основе теорий Кантора. Никому не приходит в голову изучать параболу, когда аргумент x, стремясь к бесконечности, преодолевает область конечных чисел и устремляется в трансфинитный рай, в котором действуют другие законы арифметики. Наверное интересно было бы посмотреть, что станет с нашей параболой в этом случае, а еще интереснее взять для этой цели функцию 2^x.

*

Теперь к вопросу о существовании числа π. Это число само по себе не содержит никакой бесконечности, ни потенциальной, ни актуальной. Мозговая программа, генерирующая таксон (если я правильно употребляю этот термин) числа π как соотношение длины окружности и единичного диаметра, и программа, генерирующая для этого числа нотату «π», придают вполне определенный смысл этому объекту. Так мы совершенно точно можем заключить, что sin (π) = 0, и e^iπ + 1 = 0.

Иное дело когда число π мы хотим представить в какой-либо системе счисления, например десятичной. Здесь возникает проблема несоизмеримости, не позволяющая представить наше число в виде конечного набора знаков. Но существование самого числа не зависит от процесса его «измерения», поэтому некорректно говорить о том, что в потенциальной бесконечности числа π не существует. С помощью процесса «измерения» можно получить бесконечную последовательность рациональных приближений к нашему числу. Суть в том, что такая последовательность имеет предел, и этот предел как раз и будет равен числу π, причем он одинаков как для потенциальной, так и актуальной бесконечности.

Определение иррационального числа как предела потенциально бесконечной последовательности его рациональных приближений не несет никакой угрозы существованию иррационального числа. Тот факт, что среди членов последовательности нет числа, которое в точности соответствует нашему иррациональному числу, не играет роли, когда речь идет о пределе.

Напротив, актуализация бесконечных процессов в мат. анализе может привести к непредсказуемым результатам. Так актуализация бесконечно малой числовой последовательности подразумевает, что 0 является членом этой последовательности. А значит в определении производной мы должны допустить, что деление на 0 возможно, либо поставить крест на дифференциальном и интегральном исчислениях.

*

Таким образом, актуализация БП в смысле его «завершения» равносильно отрицанию закона сохранения материи со всеми вытекающими последствиями. Нужно ли вводить актуализацию в нашу теорию? Или под «актуализацией» нужно понимать что-то другое?