Egle-2018-01-28

от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

Кому: "Попов Н.А." <popov_na@list.ru>

дата: 28 января 2018 г., 18:33

тема: Re: теория множеств

отправлено через: gmail.com

 

Ответ Н.А. Попову

(на письмо http://comfadde.blogspot.com/2018/01/popov-2018-01-27.html)

Уважаемый Н.А.,

Вы написали:

По совету С.С. Кутателадзе я ознакомился с некоторыми записками, поданными в комиссию Л.Д. Фаддеева, в том числе с Вашим файлом от 15.09.2017 [F001] о доказательстве теоремы Кантора.

Спасибо Вам за письмо и С.С. Кутателадзе за совет. Станьте членами Комиссии имени Л.Д. Фаддеева, чтобы в течение более длительного времени разобраться с ситуацией досконально.

1. Далее в Вашем письме:

Вы пишете: «Постулат Кантора заключается в том, что все бесконечности (обозванные кантористами «счетными») объявляются «равномощными».» Прежде всего, замечу, что Вы, очевидно, ошиблись в употреблении круглых скобок. По-видимому, Вы хотели сказать следующее: «Постулат Кантора заключается в том, что все бесконечности, обозванные кантористами «счетными», объявляются «равномощными».» Иначе получается, что кантористы все вообще бесконечности обозвали счетными и объявили равномощными.

Моя фраза лаконична, но правильна как со скобками, так и без них. (В оригинале к фразе имеется подстрочное примечание со ссылкой на одно из многочисленных мест, где ситуация разъясняется подробнее).

Логика канторизма такова: а) сначала все бесконечные множества объявляются равномощными и обзываются «счетными»; б) потом кантористы думают, что нашли доказательства существования также «несчетных» множеств; в) на самом деле все эти доказательства несостоятельны, и таким образом получается, что кантористами названы «счетными» и объявлены равномощными именно ВСЕ множества.

Эрнст Цермело (редактор того немецкого издания трудов Кантора, с которого Медведев делал русский перевод) писал в комментарии к самой первой работе Кантора, где он полагал, что доказал существование «несчетных» множеств (МОИ № 5, стр.32; https://yadi.sk/d/nfv1JBE7ri3Ej, стр.21–22):

Приведенное в §2 доказательство «несчетности» действительных чисел удалось Кантору, как он утверждает сам, с трудом и после нескольких тщетных попыток. Оно представляется нам сегодня несравненно более глубоким результатом данного исследования, а по его методу оно типично для специфически теоретико-множественного способа умозаключений. Только после доказательства того, что существуют и вполне определенные «несчетные» математические совокупности, понятие «счетности» получает смысл и значение, и тогда переход к общему понятию «мощности» является лишь следующим шагом.

Прав Цермело, что понятия «счетности» и «мощности» получают «смысл и значение» только в том случае, если существуют также и множества «несчетные». Но они не существуют. Мнение о их существовании является следствием неразберихи в понятиях. (На такой неразберихе построен весь канторизм).

Чтобы разобраться в понятиях (и построить правильную систему понятий) необходимо понять разницу между двумя вещами, называемыми у нас зависимой и независимой генерацией. Эти вещи описывались мной десятки (если не сотни) раз; одно из этих многочисленных описаний можно найти, например, в документах A305 и A306.

При независимой генерации все бесконечные множества имеют одинаковую «мощность»: все «счетны». При зависимой генерации можно установить любые соотношения между «мощностями» множеств, связав  соответствующим образом генерирующие алгоритмы.

Иллюзия кантористов о якобы существующих «несчетных» множествах создается в основном перескакиванием с независимой генерации на зависимую и обратно. Там, где они находят «счетные» множества, они пользуются независимой генерацией, а там, где находят «несчетные», перескакивают на зависимую. Всё это подробно описано, например, в МОИ № 5 (прямо с самого начала), а также во многих других местах.

Таким образом, нет «счетных» и «несчетных» множеств, а любое бесконечное множество можно сделать как «счетным», так и «несчетным». При отсутствии понимания этого факта канторизм является просто одной определенной комбинацией: когда одни множества сделаны (считаются) «счетными», а другие «несчетными».

2. Далее в Вашем письме:

Сразу же возникает вопрос к Вам: а как Вы понимаете равномощность множеств? Какие множества Вы считаете равномощными? От этого Оочень сильно зависит смысл Вашей фразы. Понятие равномощности, а значит и определение равномощности (я уже не говорю о понятии мощности множества) лежит в самых основах канторовской теории множеств. Или Вы хотите обойтись без этого понятия? Тогда это будет другая теория множеств. А без канторовской, по-видимому, можно и обойтись. Не спорю.

Бесконечные множества равномощны тогда, когда синхронизированы их алгоритмы генерации. То есть, пока генератор множества M1 создает N элементов, генератор множества M2 тоже создает N элементов, и эта синхронизация сохраняется всегда – на пути к бесконечности и в самой бесконечности. Тогда в этих множествах одинаковое количество элементов, между этими элементами можно установить биекцию (взаимно однозначное соответствие), и мы говорим, что они «равномощны».

В канторизме понятие равномощности определено нечетко и расплывчато. Они не понимают, что именно синхронизация алгоритмов генерации множеств является основой основ, которая обеспечивает и биекцию и равномощность. Поэтому у них рассуждения путанны.

А синхронизировать алгоритмы можно по-разному. Так, если в M1 мы генерируем натуральные числа, а в M2 генерируем четные числа, и синхронизируем генерации так, чтобы в M2 возникал очередной элемент одновременно с элементом множества M1, то четных чисел будет столько же, сколько натуральных (это независимая генерация, и множества равномощны). А если мы создаем элемент в M2 только тогда, когда в M1 появился четный элемент (т.е. через раз), то четных чисел будет в два раза меньше, чем натуральных (зависимая генерация, биекции нет, множества не равномощны).

Если в M2 мы генерируем все подмножества множества M1, а в N генерируем натуральные числа, то генерацию N мы можем синхронизировать как с генерацией M1, так и с генерацией M2. Если мы выберем первый вариант, то M1 окажется «счетным» множеством, а M2 «несчетным» (это та комбинация, которую избрали кантористы и считают единственно возможной). Если же мы выберем второй вариант (и синхронизируем генерацию N с генерацией M2), то «счетным» окажется множество всех подмножеств M2, а M1 будет «субсчетным» (т.е. бесконечным, но меньшей мощности, чем у множества натуральных чисел).

Это естественные (и самые простые) представления, а в канторизме всё это неестественно перекошено.

3. Далее Ваш текст:

Если Вы критикуете канторовскую теорию множеств, то не надо ее искажать. Ни в какой литературе по этой теории я не встречал сформулированный Вами «постулат Кантора». Нет никакого «постулата Кантора» в его теории множеств, а есть только определение равномощности (через понятие взаимно однозначного соответствия), из которого вытекает нарушение принципа (аксиомы) «часть меньше целого».

Анализ логических оснований какого-нибудь учения не является его искажением. Такой анализ должны были проделать сами кантористы, но они этого не сделали (что является большим недостатком их теории и существенным обвинением в их адрес; а анализ раскрывает несостоятельность этого учения).

Постулат – это предположение, которое требуется, чтобы какие-то рассуждения оказались верными (см., напр., документ A098). Так, например, первый постулат Евклида: «Требуется, чтобы от всякой точки до всякой точки можно было про­вести прямую линию» (если это нельзя будет сделать – а реально на песке александрийского пляжа это и нельзя было сделать, – то все геометрические рассуждения оказываются несостоятельными).

Определенные предположения требуются и для того, чтобы верными оказались рассуждения кантористов. И очень плохо, если они сами не понимают, какие именно предположения для этого требуются; плохо, что мне приходится им это объяснять.

Так, в приведенном выше примере с множеством M2 всех подмножеств множества M1 для того, чтобы картина, рисуемая кантористами, оказалась верной («M1 счетно, M2 несчетно»), требуется, чтобы биекция у N существовала именно с M1, а не с M2. Это в данном случае и есть постулат кантористов. Он может быть заменен на противоположный постулат: биекция у N существует именно с M2, а не с M1. Тогда картина кантористов не верна; тогда M2 счетно, а M1 субсчетно.

За 37 лет, в течение которых я объясняю математикам эти вещи, не было ни одного математика, который это бы понял (а их было около сотни). Нам, компьютерным программистам эти вещи кажутся очень простыми, но, видимо, у математиков нет таких мозговых мощностей, у них отсутствует абстрактное воображение и они не способны на логическое мышление, которое оперировало бы различными постулатами и вытекающими из них системами. Последним математиком, кто демонстрировал это отсутствие и эту неспособность, был академик Ю.Г. Решетняк.

В других рассуждениях кантористов предположения, требующиеся для истинности этих рассуждений, будут принимать другую форму. Но всегда присутствует некоторое предположение, при замене которого на противоположное мы имеем совсем другую картину, нежели та, что рисуют кантористы. В общем случае такое предположение и называется у нас «Постулатом Кантора». Наиболее наглядная и часто используемая его форма: предположение, что бесконечные множества с N элементами и с a^N элементами будут иметь одинаковую мощность (этот постулат требуется, чтобы можно было провести диагональный процесс и получить диагональный элемент – и этот элемент показывает вовсе не существование «несчетных» множеств, а показывает, что множество с N элементами и множество с a^N элементами не могут быть равномощными, т.е. показывает абсурдность Постулата Кантора).

4. Еще Ваши слова:

Утверждение общей теоремы Кантора о мощности множества всех подмножеств произвольного множества М сводится к утверждению о невозможности 1-1-соответствия между элементами множества М и его подмножествами. Эту невозможность и доказывает теорема Кантора.

У множества с М элементами будет 2^М подмножеств; ясно, что 2^М > М, и одного этого уже достаточно; биекция невозможна, и никакое другое доказательство не требуется. Необходимость в таком доказательстве появляется лишь в том случае, если предварительно принять стандартный Постулат Кантора, что 2^М = М. Вот, если сначала предположить такую «равномощность», то можно доказать, что это предположение неверно. Принцип доказательства (возникновения противоречия) разобран и иллюстрирован на малом примере в документе F002 на стр.10–13 (там, кстати содержится и опровержение упоминаемого Вами решетняковского файла yyy).

Множество 2^М строится из множества М (по самому определению «множества всех подмножеств»); здесь всегда зависимая генерация, и всегда будет 2^М > М. Вопрос, однако состоит в том, которое из этих множеств «счетно» (т.е. имеет биекцию с множеством натуральных чисел N). Кантористы считают, что такую биекцию имеет множество М. Но это есть просто их постулат. На самом деле, как я уже говорил выше, мы можем синхронизировать процессы генерации и так, что биекцию с N будет иметь множество 2^М. Это будет альтернативный постулат.

С уважением, Валдис Эгле