Popov-2018-01-27

от: Попов Н.А. <popov_na@list.ru>

Кому: "egle.valdis@gmail.com" <egle.valdis@gmail.com>

дата: 27 января 2018 г., 19:53

тема: теория множеств

отправлено через: list.ru

27.01.2018

Уважаемый Валдис Эгле,

по совету С.С. Кутателадзе я ознакомился с некоторыми записками, подаными в комиссию Л.Д. Фаддеева, в том числе с Вашим файлом от 15.09.2017 [F001] о доказательстве теоремы Кантора, приводимом Ю.Г. Решетняком. Вы пишете:

«Постулат Кантора заключается в том, что все бесконечности (обозванные кантористами «счетными») объявляются «равномощными».»

Прежде всего, замечу, что Вы, очевидно, ошиблись в употреблении круглых скобок. По-видимому, Вы хотели сказать следующее:

«Постулат Кантора заключается в том, что все бесконечности, обозванные кантористами «счетными», объявляются «равномощными».»

Иначе получается, что кантористы все вообще бесконечности обозвали счетными и объявили равномощными. Но и с учетом этой поправки сразу же возникает вопрос к Вам: а как Вы понимаете равномощность множеств? Какие множества Вы считаете равномощными? От этого Оочень сильно зависит смысл Вашей фразы. Понятие равномощности, а значит и определение равномощности (я уже не говорю о понятии мощности множества) лежит в самых основах канторовской теории множеств. Или Вы хотите обойтись без этого понятия? Тогда это будет другая теория множеств. А без канторовской, по-видимому, можно и обойтись. Не спорю. Вам и карты в руки.

Но если Вы критикуете канторовскую теорию множеств, то не надо ее искажать. Ни в какой литературе по этой теории я не встречал сформулированный Вами «постулат Кантора». Нет никакого «постулата Кантора» в его теории множеств, а есть только определение равномощности (через понятие взаимно однозначного соответствия), из которого вытекает нарушение принципа (аксиомы) «часть меньше целого». Об этом уже Галилей знал, и даже, как свидетельствует А. Реньи в «Трилогии о математике», об этом знал еще Зенон Элейский (V век до н.э.).

То же самое о придуманном Вами (?) постулате Кантора пишет проф. Ю.Г. Решетняк в своем файле «О мифическом постулате Кантора» от 30.09.2017 [yyy]  (6-й по списку list1).

Я тоже, как и Вы, уже много лет занимаюсь канторовской теорией множеств и знаком с кое-какой литературой по этой теории. У меня нет почти никаких претензий к самому Кантору, кроме одной: широко известный, им же открытый, парадокс Кантора он разрешить не сумел. Но гораздо более серьезные претензии у меня к официально принятой и преподаваемой в ВУЗах аксиоматической теории множеств ZFC (Цермело-Френкеля).

Парадоксы теории множеств в учебных курсах этой теории даже не упоминаются. Но не это главное. Моя основная претензия состоит в том, что приводимое во многих, хотя и не во всех, учебниках доказательство теоремы Кантора ошибочно.

Уточним терминологию.

Есть общая теорема Кантора, которая гласит:

Для любого множества М мощность множества всех его подмножеств U(M) больше мощности исходного множества М.

Кроме того, есть теорема о несчетности континуума, тоже принадлежащая Кантору, которая утверждает, что множество всех действительных чисел промежутка от 0 до 1 несчетно, то есть не может быть пронумеровано так, чтобы каждое действительное число получило номер, и разные действительные числа получили разные номера.

Будем говорить об общей теореме Кантора. Во-первых, потому, что она проще доказывается. А во-вторых, потому, что теорема о несчетности есть частный случай общей теоремы Кантора. В самом деле. Действительное число можно записать в двоичной системе счисления в виде бесконечной цепочки его разрядов, в которых стоят нули и единицы. А номера тех разрядов после запятой, где стоят единицы, – это часть (подмножество) натурального ряда. И обратно, если задаться любой частью натурального ряда, то, расставив единицы в разряды под выбранными номерами после запятой, получим действительное число между 0 и 1. Указанное соответствие между действительными числами промежутка от 0 до 1 и частями натурального ряда легко сделать взаимно однозначным, убрав конечные подмножества натурального ряда и соответствующую им конечную форму записи двоично-рациональных действительных чисел. Применяя общую теорему Кантора к натуральному ряду, приходим к выводу, что множество действительных чисел промежутка от 0 до 1 имеет мощность больше, чем множество натуральных чисел, то есть несчетно.

Общепринятое доказательство общей теоремы Кантора.

Утверждение общей теоремы Кантора о мощности множества всех подмножеств произвольного множества М сводится к утверждению о невозможности 1-1-соответствия между элементами множества М и его подмножествами. Эту невозможность и доказывает теорема Кантора.

Как это можно доказать?

Как вообще можно доказать невозможность что-то сделать? Конечно, методом от противного. Именно таково общепринятое стандартное доказательство теоремы Кантора. Значит, надо предположить, что такое соответствие установлено, и проследить за рассуждениями, доказывающими его невозможность. Вот эти рассуждения, широко известные, приводимые во многих учебниках.

Пусть всем частям множества М как-то (но однозначно!) сопоставлены его элементы. Через F(x) обозначим ту его часть, которой сопоставлен элемент х.

Тогда для каждого элемента х можно установить, входит ли он в соответствующую ему часть F(x). Элементы х, не входящие в F(x), назовем внешними прообразами.

Теперь рассмотрим множество внешних прообразов K. Будучи частью множества M, по нашему допущению оно имеет какой-то прообраз k. Спросим себя, является ли он внешним прообразом? Для ответа на этот вопрос нужно знать, входит ли k в K. А для этого нужно знать, является ли он внешним прообразом. Порочный круг замкнулся. Иными словами, согласно определению множества внешних прообразов k входит в K тогда и только тогда, когда k в K не входит. Противоречие получается, как только мы допустим, что у множества K есть прообраз. Значит, прообраза у множества K не может быть. Значит, 1-1-соответствие между частями множества M и его элементами получилась не полным. А поскольку мы рассматривали произвольное соответствие, то любое такое соответствие будет не полным. Полное 1-1-соответсивие между всеми частями множества M и его элементами невозможно. Теорема доказана.

Но позвольте заметить, скажет проницательный читатель. Присвоение прообраза (чему угодно) есть действие произвольное. Ничто не мешает присвоить множеству K какой-то прообраз. На остальные части множества М прообразов тоже хватит. Да и не важно, будем ли мы снабжать их прообразами. Противоречие уже появилось, как только мы присвоили прообраз множеству K. И что же оно доказывает?

Выходит, что противоречие, которое мы получили, рассматривая множество внешних прообразов, с возможностью или невозможностью 1-1-соответствия между подмножествами множества M и его элементами не связано. Оно появляется независимо от полноты этого соответствия. Оно появляется, как только мы пытаемся приписать какой-то прообраз множеству K – множеству внешних прообразов. Этот факт свидетельствует о противоречивости определения множества внешних прообразов по отношению к собственному прообразу. Это видно даже из смысла определения множества K: всякое множество содержит в себе все свои элементы, а внешние прообразы – это прообразы, в каких-то других множествах не содержащиеся. Если это другое множество и есть K, то и возникает противоречие.

К сказанному добавлю, что ошибочность доказательства не означает ошибочности теоремы. В некоторых учебниках приводится правильное доказательство. А кроме того, существуют разные правильные доказательства общей теоремы Кантора.

С уважением Попов Н.А.