Predel

от: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

Кому: Комиссия имени Фаддеева <comfadde@gmail.com>

дата: 5 мая 2018 г., 16:16

тема: О пределе последовательности

отправлено через: gmail.com

(Продолжение; предыдущее см. в Egle-2018-04-24 и Egle-2018-04-27).

Сегодня разберем такую цитату из решетняковского файла nafiga (т.е. из письма А.Б. Цибулису от 18 апреля 2018 г., стр.2):

«В приложении к своему «опровержению» трех тезисов Решетняка, появившемся уже после того, как я ответил на его «опровержения», Эгле добавил еще выдержку из своего мусоросборника с критикой действующей в математике теории предела. Он говорит об ошибках Решетняка. Но Решетняк строго следовал правилам теории предела, принятым в современной математике, так что правильнее говорить об ошибках господина Эгле, который, не имея правильного представления о теории предела, с важным видом выступает со своими поучениями. Так что в Ваш 1% приходится включать еще и теорию предела».

Господа Кутателадзе и Гутман! Болтовня Решетняка о якобы существующих различиях в понимании предела между мной и «современной математикой» продолжается уже не первый год. Разумеется, никаких таких разногласий не существует, и это было разъяснено Решетняку многократно. Но он (как всегда) игнорирует все аргументы и все объяснения, продолжая, как ни в чем не бывало, нести свою ахинею (это игнорирование аргументов оппонента послужило одной из причин, почему 1 мая он был забанен на сайте Комиссии: Ban-Reshetnjak).

Место, о котором Решетняк говорит в приведенной цитате, это стр. 13–21 в файле F002, имеющие продолжение на стр. 17–29 файла F003.

Там было показано, что предел в Веданской теории понимается точно так же, как в учебниках Фихтенгольца и Ландау.

В январе этого года я начал писать сочинение Grossone2, адресованное, как и первое Grossone, Сергееву, Гутману и Кутателадзе, но разные дела отвлекли меня, сочинение не было закончено и (пока) не опубликовано. Однако кусочек про пределы там закончен, и ниже я его приведу, чтобы не писать заново:

* * *

§9. Первое доказательство Кантора

В Трудах Кантора это доказательство приведено на стр.18–22.[1] У нас воспроизведено многократно в разных местах.[2]

Кантор формулирует свою теорему так:

Если по какому-нибудь закону задана бесконечная последовательность отличных друг от друга числовых величин

ω1, ω2, ..., ων , ...,

(4)

то во всяком заданном интервале (α ... β) можно определить число η (а значит, и бесконечно много таких чисел), которое не содержится в последовательности (4).

Нас интересует только случай, когда в последовательности (4) перенумерованы именно все числа интервала (α ... β); случаи, когда там какие-то другие числа, отбрасываем как помехи. Кантор берет «два первых числа последовательности (4), которые расположены в этом интервале» и обозначает их как α′, β′. Потом «аналогично два первых числа нашей последовательности, расположенных внутри (α′ ... β′), обозначим через α′′, β′′» и т.д. Образуются вложенные интервалы α, α′, α′′, ..., β′′, β′, β. Там, внутри имеется предел η обеих последовательностей α и β, который объявлялся не принадлежащим последовательности (4) и доказывающим несчетность интервала (α ... β). Такой вывод делал первоначально Кантор, а вслед за ним многие, в том числе редактор его работ Цермело, переводчик на русский язык Медведев и защитник всего этого академик Решетняк.

Полемика с Решетняком[3] показала, что он имеет следующие представления. Если имеется последовательность α, α′, α′′, ..., возрастающая, но ограниченная сверху (любым из β), то существует предел η, который не принадлежит последовательности и существование которого гарантировано «священной коровой оснований математического анализа»[4], «теоремой, соглас­но которой всякая ограниченная монотонная последовательность имеет предел».

В представлениях Решетняка (и, очевидно также его предшественников Медведева, Цермело, Кантора) правильным является такой алгоритм мышления: 1) есть «священная корова», теорема о пределе ограниченной монотонной последовательности; 2) проверяем, выполняются ли для α, α′, α′′, ... (и для ..., β′′, β′, β ) условия этой теоремы; 3) ага, выполняются, значит существует объект под названием «предел η»; 4) он не принадлежит последовательностям (α) и (β), значит, доказывает превосходящую мощность интервала (α ... β)! Теорема Кантора доказана.

Но этот алгоритм мышления является неправильным. В основе его лежат неверные представления о природе рассматриваемых объектов (последовательностей, пределов, вообще чисел и вообще математики).

«Священная корова», разумеется, теорема правильная.[5] Но только Решетняк (а до него, очевидно, Кантор, Цермело, Медведев) не понимают смысла этой теоремы. Слова «священной коровы» «ограниченная монотонная последовательность имеет предел» вовсе не означают (как это интерпретируют они), что «существует объект η, отличный от членов последовательности»; эти слова означают только, что значения членов последовательности будут всё ближе подходить к некоторому значению – и только. А объявление существующим объект η, отличный от членов последовательности, – это уже есть отдельный постулат. И на этом постулате опирается данное «доказательство» «теоремы Кантора». То есть, это «доказательство» содержит «порочный круг»: постулируется существование объекта η, и тут же это существование используется как доказа­тельство превосходящей мощности интервала. Таким образом, на самом деле эта превосходящая мощность просто постулирована, а не доказана.

Разница в интерпретации «священной коровы», хоть и очевидная для точного ума, всё же довольно тонкая. Решетняк et al. делают уклонения в тонкостях от действительного положения вещей, и путем этих уклонений приходят к своим ошибочным выводам. Вот, на таких тонких уклонениях от истины стоит весь канторизм.

Эрнст Цермело писал в комментарии к разбираемой работе Кантора[6]:

Приведенное в §2 доказательство «несчетности» действительных чисел удалось Кантору, как он утверждает сам, с трудом и после нескольких тщетных попыток. Оно представляется нам сегодня несравненно более глубоким результатом данного исследования, а по его методу оно типично для специфически теоретико-множественного способа умозаключений. Только после доказательства того, что существуют и вполне определенные «несчетные» математические совокупности, понятие «счетности» получает смысл и значение, и тогда переход к общему понятию «мощности» является лишь следующим шагом.

Абсолютно прав Цермело, что если не доказано существование «несчетных» совокупнос­тей, то не имеют и реального смысла и значения ни понятие «счетности», ни «мощности». А оно не доказано.

* * *

Итак, господа Кутателадзе и Гутман, всю эту канитель вокруг «теории предела» Решетняк затеял с одной целью: чтобы оказалась доказанной «теорема Кантора» в ее первой редакции.

Он пытается утвердить положение, что раз имеется возрастающая ограниченная последовательность α, α′, α′′, ..., то существует объект η, существование которого-то и доказывает несчетную мощность континуума.

Здесь в очередной раз проявляется характерная для профессоров математики неточность мышления. Точное мышление таково (господа Кутателадзе и Гутман, попытайтесь напрячься и понять!):

1. Существование предела у последовательности α, α′, α′′, ... можно интерпретировать так, что эта последовательность всё больше приближается к некоторому значению, но существование самого объекта η НЕ постулируется.

2. Существование предела у последовательности α, α′, α′′, ... можно интерпретировать так, что постулируется существование объекта η.

Если принимается вариант (1), то и речи нет о доказательстве «теоремы Кантора». (Этот вариант означает, что мы остаемся в области потенциальной бесконечности, и актуальную бесконечность не вводим; именно так понимается предел в классическом матанализе).

Если принимается вариант (2), то это означает ввод актуальной бесконечности, и возможны два случая:

2а. Объект η является «последним» членом последовательности α, α′, α′′, ... и содержится в ней самой; «теорема Кантора» в этом случае НЕ доказана.

2б. Объект η НЕ содержится в последовательности α, α′, α′′, ...; в этом случае «теорема Кантора» «доказана» постулированием существования объекта η.

Вся канитель, затеянная Решетняком (и восходящая к Кантору, Цермело, Медведеву и многочисленным прочим) сводится к тому, чтобы настаивать:

I. Имеет место вариант 2б, и все другие варианты должны быть отброшены.

II. При этом нельзя вспоминать, что в варианте (2) существование объекта η было просто постулировано; это существование должно считаться некой объективной данностью (из которой-то в конечном счете и вытекает мощность континуума).

Я не знаю, смогут ли всё это понять доктора физико-математических наук Кутателадзе и Гутман (академик Решетняк не смог), но таково положение здесь на самом деле.

«Теорема Кантора» здесь (как и во всех остальных ее версиях) не доказывает никакую объективную истину, а прямым путем опирается на произвольный постулат. Она не доказана, а постулирована.

Валдис Эгле

5 мая 2018 года

---

[1] Георг Кантор, «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел» (Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen. – J. reine und angew. Math., 1874, Bd. 77, S. 258–262); русский перевод Ф.А. Медведева в книге: Кантор Георг. Труды по теории множеств. – М.: Наука, 1985, https://yadi.sk/d/nfv1JBE7ri3Ej, с. 18–22.

[2] B051; МОИ № 5, стр.28–34; МОИ № 108, стр.99–100; Someone, стр.6–7; Cantor1873.

[3] МОИ № 25, стр.79–82; F002,  стр.13–21 (§B); МОИ № 31, стр. 16–28; F003, стр.17–29 (§B).

[4] Слова Решетняка в письме от 13 августа 2014 г. в 14:53: МОИ № 25, стр.9.

[5] Решетняк до последнего продолжал приписывать мне отрицание этой теоремы; см., например, его файл yyy от 30 сентября 2017 г., где он призывает на помощь даже своего покойного друга Ю.Ф. Борисова.

[6] МОИ № 5, стр.32; https://yadi.sk/d/nfv1JBE7ri3Ej, стр.21–22.