Egle-2018-04-24

Subject: Пуанкаре и Кутюра

Date: 2018. gada 24. aprīlis 16:22:47

From: Валдис Эгле <egle.valdis@gmail.com>

To: <Andrejs.Cibulis@inbox.lv>

Многоуважаемый Андрей Брониславович,

Вчера (22 апреля 2018 г.) Вы позвонили мне и, сказав, что у Вас нет времени писать длинные письма, предложили мне ответить на те соображения академика Решетняка в его последних мемуарах, которые относятся к науке (как обычно, попросив меня по возможности не реагировать на его оскорбительные выпады), и я согласился. (Поясняю это для тех, кому Вы собирались мои ответы переслать).

Я сделаю то, что Вы предложили, но только не в одной большой работе, а постепенно в нескольких письмах, в каждом разбирая какой-нибудь один вопрос. И не могу обещать, что смогу полностью удержаться от издевательств над всеми этими решетняками – докторами, профессорами и академиками, которые воображают, что они очень умные, хотя мыслить не способны «ни на йоту». (У  меня под прицелом теперь, кроме самого Решетняка, еще двое из той же шайки – Кутателадзе и Гутман).

Тема сегодняшнего моего письма (которое вряд ли смогу закончить за один день) – поданный Решетняком текст philos01 «Статья из философского справочника». (Я когда ссылаюсь на какой-нибудь источник, то указываю автора, название работы, место и год издания, а также, если она есть в Интернете, то ссылку на электронный ее текст. Решетняк же не указывает абсолютно ничего: просто какой-то безымянный набор слов, неизвестно кем написанный и откуда взятый. Это еще одна иллюстрация разницы между мышлением моим и мышлением академика: у меня оно точное и острое, как бритва, а у академика путанное, беспредметное и туманное. Поэтому я и смог предложить Веданскую теорию, наконец-то, впервые за четыре тысячи лет, показывающую истинные основания математики, а академик ничего существенного в ней не сделал и войдет в историю Науки в основном как «тот академик Решетняк, которого Марина Ипатьева отлупила»).

Итак, поданный Решетняком текст безымянного автора, называющийся «Существование математическое», утверждает:

«В этом плане является справедливым тезис А. Пуанкаре, согласно которому слово «сущест­вовать» в математике может означать только свободу от противоречий».

Решетняк подхватывает эту мысль (Reshetnjak-2018-04-18):

«К письму я добавляю еще одну статейку, которую скачал в интернете, – это статья из некоего справочника на тему «существование математическое». Я даже рекомендовал бы Вам выложить ее на сайте Вашей комиссии. Всё же читателям полезно будет знать, как некоторые вещи понимаются в математике».

И далее он говорит (файл nafiga, стр.3):

«Эгле исходит из положения, что математический объект задан, если дана про­грамма, генери­рующая этот объект. Но в математике действует совсем другой принцип, явно сформулированный впервые, по-видимому, А. Пуанкаре: Математический объект существует, если предположение о его существовании не приводит к противоречию. В соответствии с этим принципом существует множество всех натуральных чисел N. Никаких генерирующих программ не требуется».

Мнения Безымянного и за ним Решетняка основываются на следующее (но не указанное самими этими авторами) место в сочинениях Пуанкаре («Наука и метод» Poinc3, стр.63–64; привожу весь параграф III главы V книги II; подчеркивания мои):

III. Отсутствие противоречия

Я привел выше два главных возражения против того определения целого числа, которое принято в логистике. Какой ответ дает Кутюра на первое возражение?

Что обозначает в математике слово существовать? Оно обозначает, сказал я, отсутствие противоречия. Кутюра возражает против этого. Он говорит: «Логическое существование есть нечто отличное от отсутствия противоречия. Оно заключается в том факте, что некоторый класс не пуст; сказать: «элементы a существуют» – значит, согласно определению, утверждать, что класс не есть нулевой». И, само собой разумеется, утверждать, что класс a не есть нулевой, значит, согласно определению, утверждать, что элементы a существуют. Но одно из этих утверждений так же лишено смысла, как и другое, если только они оба не обозначают либо то, что можно это a видеть или осязать, либо то, что можно постигнуть a, не впадая в противоречие. Но в первом случае мы имеем дело с утверждением, которое принимают физики и натуралисты; во втором случае – с утверждением, которое выставляют логики и математики.

Для Кутюра не отсутствие противоречия доказывает бытие, а бытие доказывает отсутствие противоречия. Чтобы установить существование класса, нужно установить при помощи примера, что есть какой-нибудь индивид, принадлежащий к этому классу. «Но, – скажут, – как доказать существование такого индивида? Не надобно ли, чтобы это существование было установлено для того, чтобы мы из него могли вывести существование класса, к которому принадлежит индивид? Совсем нет. Как ни покажется парадоксальным такое утверждение, нужно сказать, что никогда не доказывают существования индивида. Индивиды уже по одному тому, что они индивиды, всегда рассматриваются как существующие. Абсолютно говоря, нет нужды высказывать, что индивид существует, а нужно лишь сказать, что он существует в классе». Кутюра находит свое собст­венное утверждение парадоксальным, и, конечно, не он один найдет его таковым. Это утверждение, однако, должно иметь свой смысл. Кутюра, без сомнения, хочет сказать, что существование индивида, который является единственным в мире и о котором ничего не утверждается, не может повлечь противоречия; пока он остается единственным, он, очевидно, никого не стесняет. Пусть так; допустим, «абсолютно говоря», существование индивида; но с этим существованием нам нечего делать; нам нужно будет доказать существование индивида «в классе», а для этого надобно будет доказать, что утверждение «такой-то индивид принадлежит к такому-то классу» не стоит в противоречии ни с самим собой, ни с другими принятыми постулатами.

«Утверждать, что определение лишь тогда имеет действительное значение, когда раньше доказано, что оно непротиворечиво, это значит, – продолжает Кутюра, – предъявлять произволь­ное и неправильное требование». Капитуляция в вопросе об отсутствии противоречия выражена здесь в словах как нельзя более энергичных и самонадеянных. «Во всяком случае onus probandi[1] падает на тех, кто полагает, что эти принципы противоречивы». Постулаты предполагаются совместимыми друг с другом до тех пор, пока не доказано противоположное, подобно тому, как обвиняемый по презумпции предполагается невиновным.

Излишне говорить, что я не подписываюсь под этой капитуляцией. Но, говорите вы, дока­зательство, которого вы от нас требуете, невозможно, вы не должны от нас требовать, чтобы мы «схватили Луну зубами»[2]. Простите, оно невозможно для вас, но не для нас, допускающих принцип индукции в качестве априорного синтетического суждения.[3] И оно так же необходимо вам, как и нам.

Чтобы доказать, что система постулатов не заключает противоречия, необходимо применить принцип полной индукции; этот способ суждения не только не «странный», но единственно правильный. Отнюдь нельзя считать «неправдоподобными» случаи его применения; и нетрудно найти соответствующие «примеры и прецеденты». Я цитировал в моей статье два таких примера, заимствованных из брошюры Гильберта. Но он не один применял такой способ; те же, которые его избегали, были неправы. Я упрекал Гильберта не в том, что он к нему прибегал (как настоящий математик, Гильберт не мог не увидеть, что здесь необходимо было доказательство и что данное им доказательство было единственно возможное), но в том, что, прибегая к нему, он не признавал в нем суждения по рекуррентному методу.

Во-первых, нужно помнить, что вообще любой термин (и стоящее за словом понятие) можно определить как угодно. Спорить об определениях принципиально бессмысленно. Термин «существовать в математике» не исключение. Можно принять определение Кутюра, и можно принять определение Пуанкаре.

Во-вторых, нужно понимать контекст, в котором происходит полемика Пуанкаре с Кутюра. «Глобально» это был спор между «логицизмом», представляемым Расселом, Уайтхедом, Кутюра и другими, и (нарождающимся) «интуиционизмом», представляемым Пуанкаре. Как я уже много раз говорил (впервые записано, пожалуй, 3 февраля 1981 года более 37 лет назад в пункте .2424 книги NATUR (МОИ № 36, стр.75)) – как я уже много раз говорил, в этом споре не было правых и неправых: обе стороны были в чем-то правы, ухватившись за ту или иную сторону реальной действительности, и обе стороны не дотягивали до той четкости и ясности в объяснении этой действительности, какую дает Веданская теория.

Чтобы яснее представлять, о чем, собственно, говорят Пуанкаре и Кутюра, взглянем на предложенное Расселом «множество R всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента», которое произвело такое впечатление на всех теоретиков незадолго до разбираемого нами спора. Так существует или не существует это множество R?

Предложение Пуанкаре, значит, заключается в том, чтобы определить «существование математическое» так, чтобы это R (и подобные ему штучки) считались «несуществующими» и исключались из рассмотрения.

Однако очевидно, что в некотором другом смысле это R «существует» уже благодаря одному тому, что мы о нем думаем и можем (причем довольно просто) описать в словах, что это такое.

Полную ясность в этом деле вносит только Веданская теория. В нашем мозге есть программа PR, позволяющая строить множество R по определенному (весьма простому) алгоритму: отбирая все множества, которые не являются собственными элементами. Этот алгоритм (воплощенный в программу PR) есть то единственное, что здесь существует реально. Множество R есть потенциальный продукт этого алгоритма (программы) – именно потенциальный, потому что реальный (физический) продукт этой программы никогда не будет построен (так как работа программы PR бесконечна и не может быть никогда закончена – и не только из-за «противоречия», а просто потому, что нельзя будет перебрать «все множества»).

Ситуация предельно ясна: есть программа PR (как единственный здесь реальный объект), можем думать о ее потенциальном продукте R (и в этом смысле он «существует»); данный продукт (в отличие от большинства потенциальных продуктов других программ) оказывается «противоречивым» (потому что программа PR зациклится, то помещая само R в R, то удаляя его оттуда); «математическое существование» можем определить как угодно: как таким образом, чтобы R входило в «существующие» объекты, так и таким образом, чтобы не входило. От нашего определения ничего не изменится, кроме словесных формулировок.

Ясно, что Решетняк эту простую ситуацию не представляет себе и не понимает. Нет ясного понимания также у безымянного автора представленной Решетняком записки philos01. История последних четырех лет (с тех пор, как Решетняк появился у нас на арене) заставляет думать, что он никогда и не поймет (органически на это не способен). Способны ли понять Кутателадзе и Гутман – пусть они покажут нам это.

Обратимся еще раз к решетняковскому файлу (nafiga, стр.3):

«Эгле исходит из положения, что математический объект задан, если дана про­грамма, генери­рующая этот объект. Но в математике действует совсем другой принцип, явно сформулированный впервые, по-видимому, А. Пуанкаре: Математический объект существует, если предположение о его существовании не приводит к противоречию. В соответствии с этим принципом существует множество всех натуральных чисел N. Никаких генерирующих программ не требуется».

Я вообще поражаюсь той бездной глупости, которая открывается за этими словами. Ничего не поняв в тексте Пуанкаре (если Решетняк вообще смог его найти и прочитать), наш академик интерпретирует этот текст так, что N существует лишь потому, что оно не приводит к противоречиям. И, видимо, он не смог сообразить, что тогда уж (с той же достоверностью, как N), существуют и кентавры, и русалки, и феи, и вообще всё, что угодно, потому что «предположение о их существовании не приводит к противоречию». Вообще человек, у которого есть хоть кусочек мозга в черепной коробке, должен же понимать, что прежде, чем решать, противоречиво или не противоречиво данное понятие (множество), оно должно возникнуть в мыслях (а это возникновение и есть отработка генерирующей программы – мозговой).

И еще последний на сегодня момент. В тексте Шенфильда (документ Suhorukov-ZFC, стр.18) давалось определение натуральных чисел в виде конструкции, стартующей с пустого множества и изображенной в статье MateMrak на рис.2 и рис.3. Насчет этой конструкции Решетняк писал 25 октября 2017 года (A001, стр.2):

«Множество, описанное в статье Шёнфилда, приводится в других публикациях. Его конструкция принадлежит Фон Нейману».

Поверив Решетняку, я тоже в F003 говорил об авторстве фон Неймана для этой конструкции. Но вот что пишет Пуанкаре незадолго до цитированного выше места:

«Я, напротив, вижу в логистике только помеху для изобретателя; с ее помощью мы отнюдь не выигрываем в сжатости; если нужны 27 уравнений для того чтобы установить, что 1 есть число, то сколько нужно будет уравнений, чтобы доказать настоящую теорему? Если мы различаем вместе с Уайтхедом индивид x, класс, единственный член коего есть x и который называется ιx, затем – класс, единственный член которого есть класс с единственным членом x и который называется ιιx, то можно ли думать, что эти различия, как бы ни были они полезны, облегчат нам движение вперед?» (Poinc3, стр.62).

Здесь мы видим подобную конструкцию, только стартующую не с нуля (пустого множества), а с единицы (единичного элемента). Это различие соответствует тому, что раньше 0 не считали натуральным числом, а теперь считают. Если отбросить это различие, то конструкция, которую Решетняк назвал принадлежащей фон Нейману, похоже, восходит к Уайтхеду и Расселу.

Итак, только Веданская теория вносит ясность в те вопросы, по которым спорил Пуанкаре и Кутюра, спорили «логицисты» и «интуиционисты»; только рассмотрение мозговых программ позволяет понять и осознать, в какой степени они все были правы, и в какой степени они все были – НЕ ТОЧНЫ.

Валдис Эгле

24 апреля 2018 года

---

[1] Бремя доказательств (лат.). – Примеч. ред.

[2] Галлицизм, обозначающий: сделать невозможное. – Примеч. ред.

[3] В.Э. 2017-12-14: Кант в «Критике чистого разума» подразделил суждения на аналитические (не добавляют новое знание и могут быть сделаны без обращения к внешнему миру) и синтетические (дают новое знание); «априорное синтетическое суждение», следовательно, дает новое знание, но дает его еще до всякого опыта. Как такое возможно, было предметом многих обсуждений, начиная с самого Канта. А возможно это очень просто: изучая свою мозговую программу (ее алгоритм и потенциальные продукты) субъект получает действительно новые знания, но эти знания не приходят из внешнего мира и не обусловлены опытом деятельности субъекта во внешнем мире.