Перепечатано с
МОИ № 36, стр. 65–75
4. Конструктивная математика
§13. О конструктивистах
1981.01.15
.2305. Уже до
описанного выше диалога Гейдеман многократно утверждал, что мои взгляды на
математику похожи на мнение конструктивистов. Сам я так не считаю. Я думаю, что
дистанция между излагаемыми мною взглядами и конструктивистским направлением в
математике столь же велика, как и дистанция между мной и формалистами.
.2306. Мне
кажется, что конструктивисты (совершенно справедливо) видят вместо застывших
канторовских множеств различные процессы. Но, сделав этот один шаг в правильном
направлении, они тут же делают второй шаг, да так, что покидают даже те
позиции, где, на мой взгляд, формалисты были правы. Так что в конце концов
правильных и неправильных позиций (по моему мнению, разумеется) у обоих
оказывается одинаково много.
.2307. Ниже я в
виде воображаемого диалога с главой советских конструктивистов, член-корреспондентом
АН СССР Андреем Андреевичем Марковым (р. 1903), постараюсь изложить основные
пункты своего мнения. Все слова Маркова взяты из его статей в БСЭ-3.[1]
§14. Несостоявшийся 1981.01.15 диалог с А.А. Марковым
.2309. МАРКОВ: Конструктивная
математика – это абстрактная наука о конструктивных процессах, человеческой
способности осуществлять их и о их результатах – конструктивных объектах.
.2310. Я: Но, видимо, конструктивная
математика в некотором смысле претендует на то, что она более верна, чем «остальные математики». Она претендует на
то, чтобы заменить «остальные математики», а вовсе не является чем-то, не составляющим
никакой конкуренции «другим математикам», не что-то совершенно параллельное им,
как, например, биология. Я хочу сказать, что из Ваших слов, видимо, следует,
что и вся математика вообще изучает конструктивные процессы, человеческие процессы
осуществлять их и т.д., хотя не все направления математики это заявляют явно.
.2311. МАРКОВ: Конструктивное направление в
математике – это математическое мировоззрение, связанное с признанием
исследования конструктивных процессов и конструктивных объектов основной
задачей математики. Конструктивное направление в математике привело к
построению особой науки – конструктивной математики.
.2312. Я: Понятно. Значит конструктивизм
признает исследование конструктивных процессов и всего, что с ними связано,
основной задачей всей вообще математики. Ну что же, в этом мы единомышленники.
Противостоит ли этому «математическому мировоззрению» формализм Гильберта?
.2313. МАРКОВ: Программу Гильберта можно
охарактеризовать как неудавшуюся попытку обосновать теоретико-множественную
математику на базе конструктивной математики, в надежности которой он не
сомневался. Гильберта следует считать одним из основоположников конструктивной
математики.
.2314. Я: Вот как? А как же с Брауэром?
.2315. МАРКОВ: Конструктивное направление
можно рассматривать как ответвление основанного Брауэром интуиционизма,
программа которого состоит в исследовании умственных математических построений.
.2316. Я: Выходит, что конструктивизм берет
начало от обоих знаменитых противников? Но, хорошо, оставим историю!
.2317. Не могли
бы Вы сказать, что такое конструктивный процесс и что такое конструктивный
объект?
.2318. МАРКОВ: Понятия конструктивного
процесса и конструктивного объекта не определяются в конструктивной математике.
.2319. Я: Конструктивный объект – это, видимо,
что-то такое, что «в принципе» можно построить из ранее существующих объектов. «В принципе» – это значит: если забыть о ресурсах
времени, исходного материала и т.д.?
.2320. МАРКОВ: В конструктивной математике
систематически применяются две абстракции: абстракция потенциальной
осуществимости и абстракция отождествления. Абстракцию потенциальной
осуществимости используют, когда отвлекаются от практических ограничений конструктивных
возможностей в пространстве, времени, материале.
.2321. Я: Ясно.
5. Числа Маркова
1981.01.15
.2322. Я: Андрей Андреевич, как Вы понимаете
число? Что это такое?
.2323. МАРКОВ: Простейшим видом
конструктивных объектов являются слова в фиксированном алфавите, т.е. ряды букв
этого алфавита. Конструктивный процесс, результатом которого является слово,
состоит в данном случае в выписывании этого слова буква за буквой. Частным
случаем слов являются натуральные числа, которые мы рассматриваем как слова в
алфавите 01, начинающиеся с нуля и, кроме того, нуля не содержащие, то есть как
слова 0, 01, 011, 0111, ... Добавляя к этому алфавиту знак минус «–» и знак дроби «/» получают
возможность строить рациональные числа как некоторые слова в алфавите 01–/.
Таким образом рациональные числа оказываются конструктивными объектами.
.2324. Я: Ну что же, это Ваша теория и Ваше
дело. Меня такое понятие числа никак не могло бы устроить. По-моему Вы
начинаете с зыбкого фундамента. Что это за алфавит? Что это за единички и
нолики? Почему именно единички и нолики? Почему не квадратики и кружочки?
.2325. МАРКОВ: В конструктивной математике
применяется абстракция отождествления. Абстракцию отождествления используют,
когда говорят о двух в том или ином смысле одинаковых объектах как об одном и
том же объекте.
.2326. Я: Понятно: Вы применяете ее сейчас,
когда отождествляете квадратики, единички и многое многое другое, что еще можно
придумать, применяете потому, что все эти объекты одинаковы в некотором смысле,
это объект «вообще». Вы будете применять эту абстракцию и в дальнейшем, когда будете
отождествлять результаты двух разных конструктивных процессов.
.2327. Очень
хорошо, что Вы осознаете и оговариваете применение этой абстракции. Не всегда
это делают.
.2328. В
принципе, конечно, и я использую эту абстракцию отождествления и говорю о
каком-нибудь объекте «вообще». Но есть все-таки разница между тем, как ее
используете Вы, и как ее применяю я. Я стараюсь никогда не выпускать из вида
то, какие, собственно, объекты были отождествлены, «собраны в один». И стараюсь проследить всё рассуждение не
только в случае этого общего, единого, отождествленного, но и в случае
единичного, конкретного объекта, такого объекта, который существует не «вообще», а в пространстве и
времени. Боюсь, что именно здесь кроется то кардинальное, что отличает меня от
всех.
.2329. Вам не
совсем понятно, что я имею в виду? Сейчас попытаюсь пояснить. Хотя это не
легко.
.2330. Вот Вы,
Андрей Андреевич, говорите об этих нуликах и единичках. Если это объекты
абстрактные, если на месте них могут быть и деревянные палочки, и детские
кубики, и вообще всё, что угодно, то мне как будто и понятно, что Вы имеете в
виду. Но вот стоит мне взять вместо абстрактных единичек конкретные, как всё
застопорилось. Вот, допустим: конкретные единички, те, которые я, именно я,
пишу сегодня на своем листке бумаги:
011/0111
.2331. Да разве
это вот и есть число 2/3? В моих глазах это пятна чернил на бумаге, а никакое
не число. Впрочем, всё, конечно, зависит от того, что называть числом. Только
такое, вот, представление о числе, оно настолько далеко от интуитивного...
.2332. Итак: с
абстрактными единичками получается более менее, а вот с конкретными... А мне
хотелось бы, чтобы и с абстрактными всё было в порядке, и с конкретными тоже. И
в моей концепции так оно и есть. Возьмем, например, ту систему чисел, которая
введена в главе МЕТАНУМЕРИКА,6 {.330} [МОИ №34]. В
случае абстрактного понимания мои изокванты такие же конструктивные объекты,
как и Ваши слова. Но в случае конкретного понимания (например, таблицы внутри
ЭВМ, на которой функционирует Эуклидос) они не превращаются в бессмыслицу. Это
закодированная информация о внешних объектах. Это что-то внутреннее для той
системы, которая строит эти конструктивные объекты. Не знаю, как кажется Вам,
но мне представляется, что это 1:0 в мою пользу.
.2333. Далее,
если, отправляясь от таблиц Эуклидоса, идти к абстракциям, то от моих понятий
так же легко придти к Вашим (конструктивные объекты), как и к канторовским
(равномощные множества в количественной теории натуральных чисел).
.2334. Вы
манипулируете значками, пишете ряд единичек, ставите знак дроби и опять ряд
единичек. Но разве от таких вот манипуляций люди получают представление о
дробных числах? Человечество ни в жизни не додумалось бы до рациональных чисел,
если бы оно не занималось бы измерением и сравнением различных внешних
объектов, то есть, конкретных множеств. Не было бы рациональных чисел, если бы
люди имели бы возможность только писать Ваши единички и знаки дроби, и не могли
бы измерять и сравнивать. Не манипуляции со значками и «словами» лежат в основе понятия чисел, а
манипуляции с множествами. С множествами, которые, с одной стороны, существуют
в реальном мире, а, с другой стороны, кодируются, отображаются в головах людей.
.2335. Вы
изучаете конструктивные процессы, но не можете сказать, зачем людям эти
процессы, откуда они взялись, что из себя представляют. Я тоже говорю о
процессах, которые вполне конструктивны, но я могу объяснить, что это за
процессы и зачем они людям нужны: это процессы отражения, процессы, при помощи
которых они смотрят в мир, обрабатывают информацию о внешнем мире. Ваши
процессы созданы для математики, мои – для жизни. Вы, конечно, можете иметь
другое мнение, но я думаю, что счет стал 2:0 в мою пользу.
.2336. Вы были
правы, когда говорили, что вы – конструктивисты – являетесь идейными
наследниками Гильберта: он тоже манипулировал значками вместо того, чтобы
размышлять о том, что происходит с объектами, кодирующими вещи материального
мира. В этом недостаток всех вас.
6. Расхождения с конструктивизмом
1981.01.15
.2337. Я: Итак, Андрей Андреевич, если бы Вы
отбросили манипулирование значками (будь то на бумаге, будь то иные значки) и
стали бы интересоваться только одним видом конструктивных объектов (которые в
общем-то подходят под Вашу идеологию, но которые у Вас абсолютно не
рассматриваются и полностью вытеснены значками), а именно: теми объектами,
которые в отображающих, вычислительных системах (таких, как мозг и ЭВМ)
кодируют информацию о внешнем мире, если бы Вы изучали конструктивные объекты и
конструктивные процессы такого рода, то мы получили бы общий фундамент для дальнейших
переговоров.
.2338. Правда,
проблемы и разногласия всё равно бы остались. Во-первых: по вопросу о
терминологии и символике. На каком языке лучше говорить о конструктивных
объектах такого рода: на Вашем вроде тех схем, которые тут недавно нам преподносил
Гейдеман, или на моем, похожем на алгоритмические языки? Я, конечно, считаю,
что на моем, но ведь Вы с этим, наверно, не согласитесь.
.2339. Кроме того
(во-вторых), есть еще одно существенное различие, которое делает мое «математическое
мировоззрение» в данном вопросе ближе к классическому, чем к Вашему. Что, по-Вашему, в
первую очередь отличает теоретико-множественный подход от конструктивистского?
.2340. МАРКОВ: В конструктивной
математике не применяется характерная для теоретико-множественной математики
абстракция актуальной бесконечности, связанная с рассмотрением никогда не
завершаемых процессов как бесконечно продолженных и тем самым как бы
завершенных.
.2341. Я: Да-да, я слышал, что конструктивисты
считают «существующими» только такие объекты, которые можно построить (конструктивным процессом
при допущении абстракции потенциальной осуществимости), остальные объекты,
значит, «не существуют».
.2342. Для меня
дела обстоят несколько иначе. Во-первых: для меня существует то, что построено,
а не то, что можно построить. Так что непостроенные конструктивные и
непостроенные неконструктивные объекты в моих глазах не так уж и сильно
отличаются. Почему это об одних непостроенных объектах мы имеем право думать и
говорить, а о других нет? Я думаю, что можно одинаково хорошо рассуждать об
объектах обоих этих категорий, надо только ясно понимать, как обстоят дела в
действительности и не забывать, что, собственно, и те, и другие из себя
представляют.
.2343. Во-вторых:
в Эуклидоле и в Эуклидосе имеются средства построения таких множеств, которые
были бы созданы, если бы закончился бесконечный процесс (оператор РЕО) и даже
вообще не определенных множеств. Так что мне и в голову не приходит объявлять
какие-то объекты незаконными. Весь вопрос только в том, ЧТО мы сможем об этих
объектах сказать, и стоит ли их вводить. Но «не стоит» и «нельзя» – это ведь не совсем одно и то же.
.2344. В-третьих:
в Эуклидоле предусмотрены средства кодирования аксиом, при помощи которых можно
охарактеризовать те или иные множества, которые, может быть, раньше были
построены как неопределенные. Так что мой подход ничуть не противоречит
аксиоматическому. Единственное, за что я ратую: это – всегда знать, что из себя
представляют те объекты, о которых мы говорим (правда, я считаю, что мы действительно
знаем, что они из себя представляют, только в том случае, если можем их
смоделировать на ЭВМ). Ничего другого я не добиваюсь.
.2345. И,
наконец, последнее различие. Я слышал, что конструктивисты пользуются особой
конструктивной логикой, в которой они, как и интуиционисты, отрицают закон
исключенного третьего. Правда ли это?
.2346. МАРКОВ: Близость конструктивного
направления к интуиционизму проявляется в понимании дизъюнкций и теорем
существования, а также в трактовке закона исключенного третьего.
.2347. Я: В данном случае я просто-напросто не
верю ни интуиционистам, ни конструктивистам. Есть только одна логика:
правильная логика. И все пользуются именно ею. Ну, кроме случаев логических
ошибок. Но всё равно, правильная логика в мире только одна.
.2348. Громкие
слова о разных логиках и об отрицании закона исключенного третьего – это просто
очень неточное выражение своего отношения к обсуждаемым объектам (а вовсе не к
логике).
.2349. Если у нас
В – это всё, что не А, то интересующая нас вещь может быть либо А, либо В, и tertium non datur. А если Вы из «не-А» не можете сделать вывод, что это В, то
виновен здесь вовсе не закон исключенного третьего, а Ваши слишком расплывчатые
понятия А и В.
.2350. Таковы
главные отличия моего «математического мировоззрения» от конструктивной математики. Повторяю:
.2351. а) акцент не на конструктивных объектах типа
значков и образованных из них слов, а на внутримозговых (моделируемых
внутрикомпьютерными) конструктивных объектах, кодирующих информацию о внешнем
мире;
.2352. б) вместо традиционной математической символики и
терминологии использование символики и терминологии науки компьютеров;
.2353. в) нет требования ограничиться только
конструктивными объектами; применяется аксиоматический метод и формальное
описание (правда, на языке компьютеров);
.2354. г) нет претензий на особую логику.
7. Школа Сколема
§15. Профессор Гудстейн
1981.02.03
(через 19 дней)
.2355. Теперь я приведу еще один воображаемый диалог с еще одним
конструктивистом: с Рейбеном Луисом Гудстейном (Goodstein), который главные
свои работы опубликовал в 1957 и в 1961 годах в Амстердаме на английском языке.
(К сожалению составители книги его переводов на русский язык, проявляя тем
самым степень своей любви к точности и ясности, не сочли возможным указать хотя
бы элементарные сведения об авторе: из какой страны, когда родился, какой пост
занимал, а БСЭ о нем молчит. В дальнейшем я называю его профессором, полагая,
что, скорее всего, он был (или есть) профессором какого-нибудь университета
(скорее всего, в Лейчестере в Англии)[2].
Если это не так, то я приношу ему свои извинения). Все высказывания Гудстейна
взяты из «Предисловия» и «Введения» в его работу «Рекурсивная теория чисел» (книга: Р.Л. Гудстейн. «Рекурсивный математический анализ». «Наука», 1970).
§16. Несостоявшийся 1981.02.03 диалог с профессором Гудстейном
.2356. Я: Господин профессор, не
могли бы Вы сказать, каковы причины возникновения того направления в
математике, в которое Вы следуете?
.2357. ГУДСТЕЙН: Открытие рефлексивного
парадокса, состоящего в том, что понятие класса всех классов, которые не
являются членами самих себя, является противоречивым, привело к возникновению
трех новых направлений в математике.
.2358. Первым из
них была теория типов Рассела, одна из частей которой разделяла объекты на типы
(так что классы объектов одного типа образовывали объекты следующего, более
высокого типа) и запрещала образование классов смешанного типа. Эта теория
привела к значительным усложнениям в построении арифметики, ибо она исключала
не только парадоксы, но также и некоторые конструкции, лежащие в основе теории
вещественных чисел, такие, как наименьшая верхняя граница ограниченного класса
чисел.
.2359. Вторым
направлением исследований, вызванных к жизни открытием рефлексивного парадокса,
была «интуиционистская» логика и арифметика
Брауэра, наиболее новаторской чертой которых был отказ от закона исключенного третьего (tertium non datur), –
логического принципа, утверждающего, что всякое предложение является или
истинным или ложным, причем не представляется никакой третьей возможности.
.2360. Отвержение
закона исключенного третьего
устраняет рефлексивный парадокс, ибо этот парадокс опирается на допущение, что
всякий класс или является, или не является членом самого себя.
.2361. Третьей
системой, которая была развита для того, чтобы избавиться от рефлексивного
парадокса, была рекурсивная
арифметика Сколема. Сколем заметил, что он может избежать этого парадокса без
обращения к ограничениям теории типов и без удаления каких бы то ни было правил
классической логики, если он не будет употреблять существование в качестве одного из первычных понятий логики.
.2362.
Пожертвовав существованием как первоначальным понятием, Сколем лишился
классического метода определения функций, и на его место он ввел определения с помощью рекурсии.
.2363. Говорят,
что функция f(n) определяется с помощью рекурсии, если вместо того, чтобы
определить ее явно (т.е. как сокращение для некоторого другого выражения),
дается значение f(0), и f(n+1) выражается как некоторая функция от f(n). Другими
словами, рекурсивное определение определяет не саму f(n), а дает процесс,
следуя которому, значения f(0), f(1), f(2), f(3) и т.д. определяются одно за
другим.
.2364. Я: Да, Туральф Альберт Сколем (Skolem
1887–1963), норвежский математик, профессор университета в Осло... Значит Вы,
профессор, его последователь?
8. Две отвергнутые концепции числа
1981.02.03
.2365. Я: А теперь, господин профессор, не
могли бы Вы объяснить, какова, по-Вашему, природа чисел? Я тут исписал много
бумаги, пытаясь объяснить свое понимание природы чисел, и мне было бы весьма
интересно узнать Ваше мнение по этому поводу.
.2366. ГУДСТЕЙН: Вопрос «какова природа математических сущностей?» является вопросом,
который занимал мыслителей более двух тысяч лет и на который, оказывается,
очень трудно ответить. Даже первое и наиболее существенное из этих понятий –
натуральное число – неуловимо как блуждающий огонек, когда мы пытаемся
определить его.
.2367. Один из
источников трудностей определения того, чем же являются числа, – это отсутствие
в окружающем мире чего бы то ни было, на что мы могли бы указать при поиске
определения числа.
.2368. Я: Ну, конечно, числа же не
материальные объекты.
.2369. ГУДСТЕЙН: Число семь, например, – это
не какая-нибудь конкретная совокупность из семи объектов, ибо, если бы это было
так, то ни о какой другой совокупности нельзя было бы сказать, что она имеет
семь членов.
.2370. Более приемлемой попыткой
определения числа семь было бы высказывание о том, что свойство быть семью
является тем общим свойством, которым обладают ВСЕ совокупности из семи
объектов.
.2371. Трудность,
возникающая при этом определении, состоит в описании как раз того, что же на
самом деле общего у всех совокупностей из семи объектов (даже если мы сделаем
вид, что всегда можем рассмотреть все совокупности из семи объектов).
.2372. Хороший
способ продвинуться в решении проблемы такого рода – это задать себе вопрос «Как мы узнаем, что
некоторая совокупность имеет семь членов?», потому что ответ на этот вопрос
непременно должен привести к прояснению того, что является общим у
совокупностей из семи объектов.
.2373. Я: О, Вы тысячу раз правы, господин
профессор! Я запомню эти Ваши слова и при случае еще вернусь к ним.
.2374. ГУДСТЕЙН: Очевидный ответ состоит в
том, что мы находим число членов совокупности, считая члены
совокупности, но этот ответ не представляется убедительным, ибо, когда мы
считаем члены совокупности, мы, оказывается, делаем не что иное, как «навешиваем» на каждый член
совокупности «бирку» с некоторым числом.
.2375.
Приписывание каждому члену совокупности некоторого числа, как мы, очевидно,
делаем при счете, является на самом деле установлением соответствия между
членами двух совокупностей: объектов, которые надо сосчитать, и натуральных
чисел.
.2376. Если мы
говорим, что две совокупности подобны, когда каждый объект одной из них
имеет единственный соответствующий ему объект в другой, то можно сказать, что
пересчет некоторой совокупности означает нахождение совокупности чисел,
подобной данной. Так как подобие является транзитивным свойством, то,
следовательно, подобие мы можем считать свойством, общим всем совокупностям,
содержащим одно и то же число членов, – свойством, которое мы искали, а так как
само подобие определяется безотносительно к числу, оно, конечно, может быть
использовано в определении числа.
.2377. Чтобы
завершить определение, нам нужно только выделить определенные стандартные
совокупности из одного, двух, трех и т.д. членов; тогда будем говорить, что
некоторая совокупность имеет определенное число членов, если только она подобна
стандартной совокупности, имеющей то же число членов. Сами числа можно сделать
требуемыми стандартами.
.2378. Это
фактически определение числа, открытое Фреге в 1884 году и независимо Расселом
в 1904 году.
.2379. Его
нельзя, однако, принять как полный ответ на вопрос о природе чисел. Согласно
этому определению число есть отношение подобия между совокупностями, при
котором каждый элемент одной совокупности ставится в соответствие
определенному элементу другой, и наоборот.
.2380. Недостаток
этого определения кроется в понятии соответствия. Как мы узнаем, что два
элемента находятся в соответствии? Чашки и блюдца в совокупности чашек, стоящих
на своих блюдцах, находятся в очевидном соответствии, но каково соответствие
между, например, планетами и музами?
.2381. Мало
помогает упоминание о том, что хотя нет явного соответствия между планетами и
музами, мы можем легко установить его; ибо, как мы узнаем об этом, и, что
важнее, какого рода соответствие мы допускаем? Определяя число в терминах
подобия, мы, в сущности, заменили неуловимую концепцию числа столь же
неуловимой концепцией соответствия.
.2382. Я: Но не правда ли, господин профессор,
ведь сама идея поэлементного сопоставления множеств очень привлекательна, и
такое понимание числа очень близко к интуитивному. Ведь интуитивно «число» связано с
количеством элементов. Я согласен, что концепция соответствия в том виде, в
каком ее изложили Вы (вслед за Фреге и Расселом), почти столь же неуловима, как
и сама концепция числа. Но может быть стоило бы заняться уточнением этой «неуловимой концепции
соответствия»? Но, извините, продолжайте!
.2383. ГУДСТЕЙН: Некоторые математики пытались избежать трудностей в
определении чисел, отождествляя числа с цифрами. Но эта попытка неудачна, так
как каждый осознает, что свойства цифр не являются свойствами чисел.
.2384. При более
тонком варианте той же попытки определить числа в терминах цифр числа считаются
не тем же самым, что и цифры, а именами цифр; при этом устраняются
нелепости, возникающие при попытке отождествить число и цифру, но это
приводит к равно абсурдному заключению, что некоторое одно обозначение
является квинтэссенцией числа.
.2385. Дело в
том, что если числа являются именами цифр, то мы должны решить, которые цифры
они называют; мы не можем считать число десять, например, названием как
римской, так и арабской цифры. А если говорится, что число десять является
именем всех цифр десять, то мы приходим к абсурдному заключению, что значение
слова, сопоставленного числу, меняется с введением каждого нового обозначения.
.2386. Я: Не Вейерштрасса ли Вы имели в виду,
когда говорили о тех математиках, которые отождествляли число и цифру? Ну, это,
конечно, самые неудачные попытки из всех, с которыми я когда-либо встречался.
Об этом я писал в {.1929}, {.2001}, {.2007}. Такое направление в объяснении
природы чисел мне кажется совершенно бесперспективным, в то время, как идея
Фреге и Рассела (по-моему, она восходит к еще более ранним идеям Кантора)
нуждается только в уточнении. Именно таким уточнением (пусть, может быть, проведенным
с радикально иной точки зрения) я и считаю свою концепцию числа.
9. Числа Гудстейна
1981.02.03
.2387. Я: Итак мы имеем уже две точки зрения,
описанные и отвергнутые Вами. Каково же Ваше собственное мнение?
.2388. ГУДСТЕЙН: Как часто замечалось, можно
провести замечательную параллель между игрой в шахматы и математикой. Цифрам
ставятся в соответствие шахматные фигуры, а операциям арифметики – ходы этой
игры. Но параллель продолжается даже дальше, ибо проблеме определения числа
соответствует проблема определения сущности игры.
.2389. Если мы
зададимся вопросом «Что такое шахматный король?», то мы обнаружим точно те же трудности при
попытке ответить на этот вопрос, какие мы встретили при наших рассмотрениях
проблемы определения понятия числа.
.2390.
Несомненно, шахматный король, ходы которого описываются правилами игры, не есть
фигура с характерными очертаниями, которую мы называем королем, так же
как цифра не есть число, ибо любой другой объект, например, спичка или кусочек
угля, столь же хорошо служил бы королем для игры.
.2391. Вместо
вопроса «Что такое шахматный король?» давайте спросим: «Что делает некоторую конкретную фигуру
королем?». Ясно, что это не очертания этой фигуры и не ее размер, ибо и то, и другое
может быть по желанию изменено. То, что делает фигуру королем, – это ее ХОДЫ.
Та фигура является королем, которая может ходить как король.
.2392. Теперь,
наконец, мы обнаруживаем ответ на вопрос о природе чисел. Мы видим, прежде
всего, что для понимания смысла чисел нам надо обратиться к той «игре», в которую играют
числами, т.е. к арифметике. Числа один, два, три и т.д. являются действующими
лицами в игре арифметика, фигуры, которые исполняют их роли, являются цифрами,
а то, что делает некоторый знак цифрой, соответствующей конкретному числу, –
это та роль, которую она играет, или, как можно сказать словами, более
подходящими контексту, – это правила преобразования данного знака.
.2393. Поэтому,
следовательно, объектом нашего изучения является не самое число, а правила
преобразования числовых знаков, и в последующих главах у нас больше не
будет причин рассматривать понятие числа.
.2394. Но так же,
как шахматные правила обычно формулируют в терминах шахматных понятий, так что,
например, мы говорим, что шахматный король ходит только на одну клетку за один
ход (исключая рокировку), вместо полностью эквивалентной формулировки «фигура, играющая
роль короля (или просто фигура-король) передвигается на одну клетку за ход («исключая рокировку)», так и мы будем
продолжать формулировать в чисто описательных местах операции арифметики в
терминах арифметических сущностей, а не в терминах арифметических знаков.
Например, мы можем говорить о «сумме чисел два и три», а не придерживаться формулировки в
знаках «2+3», где «+»
это знак, роль которого в арифметике – это то, что называется сложением, а «2» и «3» – цифры, которые
играют роль чисел два и три.
.2395. Я: Ну что же, господин профессор, свое
понимание природы чисел Вы изложили достаточно ясно. Математика – игра, цифры –
фишки в этой игре, а числа – та роль, которую они исполняют. И изучать надо не
собственно числа, а правила игры, правила преобразования числовых знаков.
.2396. Я не буду
распространяться на счет того, что такое объяснение для меня абсолютно
неприемлемо. Каждый, кто меня хоть немножко знает, сразу догадается, что для
Эгле это не пойдет.
.2397. Мне только
хотелось бы отметить, насколько сильно могут расходиться людские мнения. Вам
наверно Ваша концепция кажется более ясной и четкой, чем, например, концепция
Фреге–Рассела, которую Вы только что отвергли. Мне же кажется, что «определяя число в
терминах игры, мы, в сущности, заменили неуловимую концепцию числа столь же
неуловимой концепцией» роли, которую цифры играют в преобразованиях
знаков. Признаться честно, мне даже понятие соответствия кажется более четким,
чем понятие роли.
.2398. Но не
думайте, что я собираюсь объявить глупостями то, что Вы сказали. Отнюдь нет, я
считаю, что в Вашем подходе имеется определенное рациональное зерно и что, если
Вашу концепцию как следует уточнить, то она окажется почти такой же хорошей,
как и концепция Фреге–Рассела. Точнее: если бы Вы в своей «игре» игрались бы не цифрами, а некоторыми
другими объектами, то Ваша концепция была бы ровно столь же хороша (и ровно
столь же неточна, расплывчата или «неуловима», как Вы говорите), сколь и концепция
Фреге–Рассела.
.2399. Вы не
признаете Фреге–Рассела, Фреге и Рассел и их последователи не признают Вас. В
мире так и нет единого, четкого и ясного понимания природы чисел. Это значит,
что, несмотря на все попытки, так и не существует настоящей концепции чисел,
ибо если была бы, наконец, создана настоящая концепция чисел, то очень скоро
осталась бы только она одна, а все остальные ушли бы в историю математики.
.2400. Вы,
конечно, догадались, что судьбу именно такой настоящей концепции, которая скоро
окажется вне конкуренции, я предвещаю своему пониманию природы чисел. Ну что ж,
посмотрим, как на нее отреагирует мир!
.2401. Моя
концепция имеет кучу преимуществ перед всеми другими. Вот Вы, господин
профессор, жалуетесь {.2367} на «отсутствие в окружающем мире чего бы то ни было,
на что мы могли бы указать при поиске определения числа». Я Вам указываю такой материальный объект
в реальном мире: это программы мозга. Я призываю Вас рассматривать не «неуловимую концепцию
соответствия» и не столь же неуловимую
концепцию роли в игре, а вещь, которая после моделирования ее на ЭВМ становится
фактически программой компьютера, то есть, такой вещью, которая во всем мире
выпускается в промышленных масштабах многими фирмами и учреждениями. Вряд ли
такую вещь назовешь «неуловимой концепцией».
.2402. Я покажу
Вам, что мою концепцию можно считать так же хорошо уточнением определения
Фреге–Рассела, как и Вашего. И получается, что Вы, господин профессор, и Фреге,
и Рассел, – все ходили вокруг этой, настоящей концепции, вы даже почти понимали
ее, вы брали то одну, то другую ее сторону и возводили в абсолют, вы прямо
отчаянно пытались высказать свое иногда даже довольно ясное понимание в тех
словах и понятиях, какие были в вашем распоряжении, но неизменно получалась эта
вечно ускользающая «неуловимая концепция». И всё только потому, что не было ни у Вас,
профессор, ни у Фреге, ни у Рассела простого, четкого и ясного понятия об одной
вещи в этом мире, потому что вы все родились и воспитались когда этой вещи еще
на свете не было. У вас неизбежно получалась «неуловимая концепция», ибо не было у вас системы понятий,
терминов и всего, что связано с этой вещью. Ни Вы, господин профессор, ни
Фреге, ни Рассел, никто из вас не знал, как работает компьютер, и не могли вы
увидеть, что достаточно предположить, что мозг – компьютер, чтобы всё стало на
свои места, исчезли «неуловимые концепции», уступив место «продуктам программной промышленности», и чтобы стало до
боли очевидно, что все ваши слова – это попытка в очень плохих терминах
объяснить работу компьютера.
10. Игра в математику
1981.02.03
.2403. Я: Несколько ниже я, выполняя обещание,
попытаюсь показать, что моя концепция числа является радикальным уточнением
одновременно и Вашей, и концепции Фреге–Рассела или, что то же самое, Фреге и
Рассел брали и возводили в абсолют одну ее сторону, а Вы (если вместо игры
цифрами играться иными объектами) – другую сторону.
.2404. Но сначала
мне хотелось бы уточнить наше понятие игры. Итак: по-Вашему арифметика – это
игра, цифры – ее игрушки, а числа – та роль, которую эти «оловянные солдатики» исполняют. Тут, конечно, всё, как обычно,
зависит от того, что обозначать словом «игра».
.2405. Для меня
естественно называть шахматы игрой. Потому, что это в общем-то случайность, что
древний гость принца Сирама придумал шахматы именно такими, какими мы их знаем.
Он мог бы придумать и другие правила. На шахматной доске теми же фигурами можно
играть и в шашки. И в волков с овцой.
.2406. От того,
что именно я играю, как я играю и играю ли вообще, никак не зависит ни
состояние моих дел (я не говорю здесь о профессиональных игроках, для которых
игра уже не игра), ни мои знания о мире, ни вообще что-нибудь существенное. Это
просто времяпрепровождение, в лучшем случае некоторая гимнастика ума, это – «просто игра». Так я понимаю
слово «игра».
.2407. Совсем
иное дело – математика. Та арифметика, которой мы пользуемся, не случайность.
Человечество не могло с такой же легкостью прийти к другой арифметике. От того,
смогут ли люди рассчитать самолет, зависит, будут ли в этом обществе самолеты.
И так на каждом шагу. Всё материальное благосостояние человечества зависит и от
математики тоже. Математика – часть накопленных человечеством знаний. Знаний!
Так какая ж это игра?
.2408.
Разумеется, Вы имеете право называть игрой всё, что хотите. Только почему тогда
не называть игрой и конструирование самолетов, строительство домов или, скажем,
составление программ для ЭВМ?
.2409. Это,
разумеется, Ваше дело, но я всё же предпочитаю сохранить слово «игра» для обозначения
безделушек, а для математики и всех других перечисленных занятий употреблять
другое слово.
.2410. Хорошо,
предположим, что Вы говорите об игре «арифметика» в переносном смысле. Допустим, что Вы
считаете математику более серьезным занятием, чем «просто игра». Допустим, что Вы под «игрой» понимаете «что-то делать с
чем-то».
Я предпочитаю здесь употреблять слово «манипулировать». Это одинаково хорошо подходит и для
шахмат, и для Ваших занятий с цифрами. В одном случае Вы манипулируете
шахматными фигурами, в другом – цифрами. И слово «манипулировать» абсолютно не предполагает, является ли
Ваше занятие пустым времяпрепровождением, или серьезным делом. Слово «игра» же мне кажется
здесь неуместным, так как подходит только для шахмат, но не для математики.
.2411. Итак,
господин профессор, мне кажется, что, когда Вы говорите «игра арифметика», Вы под игрой подразумеваете больше то
обстоятельство, что это какие-то действия над чем-то, нежели то, что это
безделушка. Поэтому, надеюсь, я вполне могу заменить слово «игра» на слово «манипулирование» в Ваших
высказываниях.
.2412. Теперь
Ваше определение числа выглядит так: арифметика – это манипулирование цифрами,
числа – это те роли, которые цифры при этом выполняют, а изучать мы должны
правила манипулирования цифрами.
.2413. Теперь
разберем, что такое «правила манипулирования». Что же такое вообще любое правило? Что
такое, например, правила уличного движения? Это книжка со светофором на
обложке? Нет ведь: в книжке правила только закодированы, записаны. А где же
сами правила? Если над этим как следует подумать, то нетрудно понять, что
правила уличного движения – это не что иное, как руководства к действиям
водителя в той или иной ситуации, или, что то же самое, – это алгоритмы
действий водителя при приближении к перекрестку и в подобных ситуациях. Правила
языка – это алгоритмы построения предложений и т.д. Везде и всюду правила – это
алгоритмы тех или иных действий.
.2414. Теперь,
господин профессор, задача математика (как Вы ее понимаете) состоит в том,
чтобы изучать алгоритмы манипулирования цифрами. Чувствуете, какая открылась
параллель в наших позициях? Я не говорил, что Вы не правы (и не говорил вообще
почти никогда, что вообще традиционная математика не права). Я всё время
утверждаю только одно: что Вы и вообще математики говорите о программах на
очень неприспособленном к этому языке, и поэтому Ваши высказывания (а иногда и
выводы) чрезвычайно неточны и расплывчаты.
.2415. Я могу
привести такую аналогию. Допустим, домохозяйка говорит мастеру, ведущему ремонт
или строительство дома: «Стены коридора покрасьте желтым цветом!». «Хорошо» – отвечает мастер,
– «но
какой краской будем красить?». «Я же сказала: желтой!» – негодует хозяйка. «Понятно, что желтой, но какой: масляной,
меловой, эмалью, ...?» – спрашивает мастер. А хозяйка сердится: «Какой бестолковый
строитель, никак не может понять!». И так они разговаривают обо всем: домохозяйка
видит одно, а строитель на это смотрит совсем с другой точки зрения и говорит
совсем о других понятиях и совсем другими словами, хотя говорят они об одном и
том же.
.2416. Нам,
конечно, понятно, что взгляд строителя неизмеримо более глубок. По какой
причине мы в этом уверены? Да по той простой причине, что строитель может
построить дом, а домохозяйка не может. Поэтому систему понятий, которой
пользуется строитель, и следует считать более глубокой и серьезной.
.2417. Я
разговариваю с математиками, как строитель с домохозяйкой. Точно так же
отличаются наши с Вами взгляды на математику, профессор. Вы смотрите на
математику глазами домохозяйки, не интересуясь вопросом: «как это построить?». Я смотрю на математику глазами
строителя. Вас, например, устраивает слово «абстракция». Я же сразу начну думать: «Абстракция? Как же
ее реализовать на ЭВМ?». И когда я это придумаю, то само слово «абстракция» превратится в
обозначение довольно расплывчатого понятия, вместо которого у меня будет
вставать целый ряд элементов этой реализации. И таков вот характер всех
различий в наших подходах, будь то к вопросу «что такое число?», будь то к вопросу «что такое множество?» и т.д. Мой взгляд – это взгляд строителя:
«как это
построить на компьютере?».
.2418. То, о чем говорите вы, вы не можете реализовать на технических
устройствах. Всё, о чем говорю я, я могу воплотить в компьютер. И это такой
козырь, который вам будет нелегко выбить из моих рук. У вас взгляд домохозяйки,
у меня взгляд строителя. И для меня нет сомнений в том, чей взгляд более
глубок.
11. Слияние концепций
1981.02.03
.2419. Я: Итак, оказалось, что мы сошлись
(вернее: с самого начала стояли) на одном и том же: что математика изучает
алгоритмы манипулирования чем-то. Но чем? Вы считаете главным (или даже
единственным) предметом математики манипулирование цифрами, то есть – значками
(преимущественно) на бумаге. Я эти алгоритмы назвал вторичными {.2082}. Не от
них математика берет свое начало, не они определяют незыблемую истинность того,
что 2+2=4. Это определяется первичными алгоритмами, алгоритмами манипулирования
множествами.
.2420. Теперь
проливается свет на то, что такое «роль, исполняемая цифрами» – это то, что цифры обозначают числа, то
есть, объекты вторичных алгоритмов обозначают стоящие за ними объекты первичных
алгоритмов. Видите, как за Вашими понятиями раскрываются мои?
.2421. Ну, а что
же это за первичные алгоритмы? Их, как и вторичных, можно придумать сколько
угодно. В медитации ЧИСЛА {.1742} я предложил один комплект таких алгоритмов,
определяющих все типы чисел по единому принципу. Но традиционная система чисел
основывается на несколько других алгоритмах. Алгоритмы системы натуральных чисел
(по крайней мере один из возможных близких вариантов) описаны в {.330} [МОИ №34]. Поскольку мы тут беседуем именно о традиционных натуральных числах, то
эти алгоритмы и сочтем за определяющие.
.2422. В пункте
{.2372} Вы, господин профессор, сказали, что хороший способ продвинуться в
решении проблемы того, что же на самом деле общего у всех совокупностей из семи
объектов – это задать себе вопрос «Как мы узнаем, что некоторая совокупность имеет
семь членов?».
.2423. Вы
ответили, что узнаем считая, а счет, «оказывается», есть навешивание «бирок» с числами. Я бы ответил на этот вопрос
совсем иначе: «Везде и всюду, всегда и вообще, будь то обнаружение сходства двух лиц или
обнаружение того, что две совокупности имеют одинаковое количество элементов,
мы узнаем об этом только выполнив определенную процедуру сравнения, и
выполняется эта процедура по тому или иному алгоритму». Вот, именно такой алгоритм сравнения под
названием «алгоритма равномощности» описан в {.319} [МОИ №34], и
именно он, реальный и четкий, встает за «неуловимой концепцией соответствия». Видите, господин
профессор, как и за концепцией Фреге–Рассела опять вскрывается всё та же моя
концепция?
.2424. Фреге и Рассел напирают на то, что это соответствия эталонному
множеству, Вы напираете на то, что это манипулирование или «игра», как Вы говорите.
Вы оба правы, но не точны. А за всем этим во всем своем величии стоит мозговой
компьютер – процессор множеств.
[1] Марков А.А. «Конструктивная
математика». Статья в БСЭ-3, т.13, Москва, 1973. Марков А.А. «Конструктивное направление в математике». Статья в БСЭ-3,
т.13, Москва, 1973.
[2] В.Э. 2017-10-10: Reuben Louis Goodstein (1912.12.15 –
1985.03.08). В настоящее
время в русской Википедии о нем статьи нет: английская Википедия называет его «English mathematician with the strong interest in philosophy». Магистр в Кембридже, PhD в Лондонском университете, потом работал в University of Reading, но большую часть жизни в University of Leicester. Был ли профессором, не сказано, но надо
полагать, что был. Учился также у Людвига Витгенштейна. См. еще файл Goodsteinator.
Комментариев нет:
Отправить комментарий